Limite facile

[arnold123]

Salve a tutti ragazzi.
Vi propongo un problema la cui risoluzione sarà probabilmente alquanto imbarazzante per la facilità, ma mi ritrovo un po' arrugginito con analisi I e non riesco a venirne a capo.
Si tratta di un limite per x che tende a + infinito, e la funzione è la seguente:

$2x^4 - x^5$

è una forma indeterminata del tipo +inf -inf ed ho provato con una messa in evidenza + trucchetto algebrico e De l'hopital. Il risultato è stato +inf. Ma già ad occhio si vede che deve "vincere" il grado più alto e dunque fare -inf: come formalizzare questo ragionamento? e soprattutto perchè de l'hopital in questo caso non va?
Grazie ancora.

[Rigel1]

"arnold123":Si tratta di un limite per x che tende a + infinito, e la funzione è la seguente:

$2x^4 - x^5$

In questi casi basta raccogliere l'infinito principale (che tu hai già individuato):
\[
-x^5\left( 1 - \frac{2}{x}\right).
\]
Fatto questo, fra parentesi ti rimane una quantità che tende a \(1\), quindi il limite è determinato dal fattore che hai raccolto fuori dalla parentesi.

[arnold123]

Grazie mille! Ma una curiosità: Perchè raccogliendo il termine alla quarta ed applicando de l'hopital non si ottiene lo stesso risultato?

[Rigel1]

Una delle ipotesi del teorema di l'Hopital è che il limite si presenti in forma indeterminata "\(0/0\)" oppure "\(\infty / \infty\)".
A quale limite vuoi applicare l'Hopital?

[arnold123]

Mi ero completamente dimenticato questa ipotesi e stavo tentando invano di applicare de l'Hopital ad una forma $\infty / 0$, e questa mi veniva fuori mettendo in evidenza il più piccolo degli infiniti ( $x^4$ ) e scrivendo la funzione come $(2-x)/(x^-4)$ . Adesso mi è tutto chiaro, grazie mille!

[Sacaio]

Puoi anche raccogliere come segue:

\[
2x^4 - x^5 = x^4(2 - x)
\]
A questo punto facendo il limite ottieni un prodotto tra infiniti di segno opposto, dunque, per la regola dei segni: $- \infty$.