Limite: esponenziale fratto valore assoluto

[markus988]

La funzione in questione è: $e^x/|x-2|$

Se faccio il limite a $+infty$ ottento $+infty$ quindi ha senso cercare l'andamento:

$lim_(x -> infty) e^x/(x|x-2|)$

A questo punto ho pensato qualcosa del genere: visto che tendiamo a numeri molto grandi posso togliere il valore assoluto, fare la moltiplicazione ed applicare l'asintotica equivalenza quindi avrei qualcosa del tipo:

$lim_(x -> infty) e^x/x^2$ tramite il confronto di infiniti o 2 volte de l'Hopital ottengo facilmente $+infty$ dunque l'andamento è superlineare.

Ho inventato tutto o va bene così?

[giuscri]

Be', $|x - 2|$ per $x$ molto grandi è sicuramente positivo. Se con cercare l'andamento intendi vedere se il rapporto con la bisettrice tende ad una qualche costante (i.e. la funzione ha asintoto obliquo), mi sembra che la tua funzione non lo faccia (via l'esponenziale "sopra"!).

[markus988]

Per cercare l'andamento intendo capire se la funzione al limite si comporta come la bisettrice, (limite del rapporto costante), diverge "più rapidamente" (quel che ho chiamato superlineare) o diverge "più lentamente" (se il limite del rapporto fosse venuto 0). In pratica per capire se il segnetto che devo fare sul grafico è una linea dritta, "convessa" o "concava"

Quel che domandavo, invece, è se i passaggi compresa l'asintotica equivalenza sono inventati o corretti

[giuscri]

"markus988":Per cercare l'andamento intendo capire se la funzione al limite si comporta come la bisettrice, (limite del rapporto costante), diverge "più rapidamente" (quel che ho chiamato superlineare) o diverge "più lentamente" (se il limite del rapporto fosse venuto 0). In pratica per capire se il segnetto che devo fare sul grafico è una linea dritta, "convessa" o "concava"

Quel che domandavo, invece, è se i passaggi compresa l'asintotica equivalenza sono inventati o corretti

Non credo che necessariamente il comportamento che chiami "superlineare" sia legato alla convessità della curva. Non è quella l'informazione che ti viene dal rapporto della tua funzione con la bisettrice: se al limite quel rapporto è pari ad una costante allora puoi dire che la tua funzione e la bisettrice crescono alla stessa velocità (o l'una il doppio dell'altra, o il triplo, etc), i.e. avrà un asintoto obliquo pari al doppio (o triplo, etc) della bisettrice del 1° e 3° quadrante. Per studi relativi alla convessità è d'obbligo la derivata seconda. Nel caso specifico della tua funzione poi, certo: puoi cavartela con quanto hai già detto tu. Ma vacci piano!

Se i tuoi dubbi sono relativi al fatto di sbarazzarti dei valori assoluti, be': $y = x-2$ non mi sembra proprio che definitivamente abbia possibilità d'essere negativa, i.e. chiaro che puoi omettere il valore assoluto. Ma questo in realtà dovrebbe esserti già chiaro dal significato di valore assoluto di una funzione. Ragiona finché non hai più dubbi sulla questione.

[markus988]

"giuscri":Non credo che necessariamente il comportamento che chiami "superlineare" sia legato alla convessità della curva. [..] Per studi relativi alla convessità è d'obbligo la derivata seconda.

Ho usato le virgolette su concava e convessa per cercare di evitare questo sono al corrente che per lo studio della convessità della funzione è necessaria la derivata seconda.
Io parlavo solo del segnetto che faccio per ricordare che il limite è venuto in un certo modo (in questo caso lo appunto in alto a destra del I° quadrante, avrei fatto un segno vicino all'asse delle ordinate a destra se fosse venuto 0) per tracciare poi il grafico approssimativo (come richiesto dalla traccia). Questo almeno è il sistema che la nostra prof. adotta e quel che ho chiamato andamento serve per capire come fare questo segnetto benedetto.

"giuscri":Se i tuoi dubbi sono relativi al fatto di sbarazzarti dei valori assoluti, be': $y = x-2$ non mi sembra proprio che definitivamente abbia possibilità d'essere negativa, i.e. chiaro che puoi omettere il valore assoluto. Ma questo in realtà dovrebbe esserti già chiaro dal significato di valore assoluto di una funzione. Ragiona finché non hai più dubbi sulla questione.

Riformulo la domanda: è corretto applicare l'asintotica equivalenza dopo aver omesso il valore assoluto?

[giuscri]

"markus988":Riformulo la domanda: è corretto applicare l'asintotica equivalenza dopo aver omesso il valore assoluto?

Se $x->\infty$:

$e^x / (x * |x-2|) \sim e^x / (x * (x-2)) = e^x / (x^2 - 2x) \sim e^x / x^2$

In particolare

$e^x / (x * |x-2|) \sim e^x / x^2$

EDIT: la questione non è quella di omettere il valore assoluto.

$|x-2| = (x-2)$, $\forall x > 2$

$|x-2| = (2 - x)$, $\forall x < 2$

Ora, quando la "x tende a più infinito" è chiaro che supera di gran lunga il valore $x = 2$, i.e. puoi omettere le due sbarrette del valore assoluto perché sei sicuro che

$lim_(x->\infty) (x-2) / (|x-2|) = 1$