Limite, esercizio Analisi I

[Misctero]

Buongiorno signori, come risolvereste il seguente limite?

$\lim_{x \to \infty}[ln((1+x)/x)]^(1/x)$

io ho provato con i carabinieri usando le funzioni 1/(x^2) e x al posto della base della potenza ma ho qualche dubbio sulla correttezza del ragionamento.

(il risultato dovrebbe essere 1)

grazie mille

[francicko]

$lim_(x->infty)[log((1+x)/x)]^(1/x)$ $=lim_(x->infty)[log(1+1/x)]^(1/x)$ poniamo per comodità $1/x=t $ e riscrivo
$lim_(t->0^+)[log(1+t)]^t $ $ =lim_(t->0^+)e^(tlog[log (1+t)]) $
Ad esponente abbiamo $lim_(t->0^+)tlog [log (1+t)]$ dove $log (1+t)~~t $ per cui si ha:
$lim_(t->0^+)tlogt $ $=lim_(t->0^+)logt/(1/t) $ applicando Hopital si ha $=lim_(t->0^+)(1/t)/(-1/t^2) $ $=lim_(t->0^+)-t^2/t=0$sostituendo abbiamo $e^0=1$ che è il risultato del nostro limite all'origine.

[Misctero]

"francicko":$lim_(x->infty)[log((1+x)/x)]^(1/x)$ $=lim_(x->infty)[log(1+1/x)]^(1/x)$ poniamo per comodità $1/x=t $ e riscrivo
$lim_(t->0^+)[log(1+t)]^t $ $ =lim_(t->0^+)e^(tlog[log (1+t)]) $
Ad esponente abbiamo $lim_(t->0^+)tlog [log (1+t)]$ dove $log (1+t)~~t $ per cui si ha:
$lim_(t->0^+)tlogt $ $=lim_(t->0^+)logt/(1/t) $ applicando Hopital si ha $=lim_(t->0^+)(1/t)/(-1/t^2) $ $=lim_(t->0^+)-t^2/t=0$sostituendo abbiamo $e^0=1$ che è il risultato del nostro limite all'origine.

grazie molto chiaro ma se permetti avrei altri 2 quesiti:
1) è possibile effettuare gli ultimi passaggi senza utilizzare de l'hopital?
2) come giustifico che x circa log(1+x) per x->0? (risolto)

[francicko]

Sì potrebbe mettere il limite $lim_(t->0^+)tlogt $ nella forma equivalente, $lim_(t->0^+)e^(logt)logt $, e porre $logt=-k $ e diventa $lim_(k->+infty)-ke^(-k)=lim_(k->+infty)=-k/e^k=0$ il cui limite è zero, in quanto l'esponenziale a denominatore prevale come infinito sul numeratore.
Ho posto $logt=-k $ perché $lim_(t->0^+)logt=-infty $