Limite esame universitario economia aziendale
ciao ragazzi... avrei bisogno di risolvere questo limite... l'ho fatto varie volte e mi torna sempre un risultato errato, probabilmente c'è un errore di fondo...
sono nuovo e forse non riuscirò a scriverlo correttamente ma ci provo
$lim x->+oo [|1 - x^2 - log(x) | - |x^2 + x + 1| ] / [x + log(3x)] $
era un limite di un compito di matematica economica per la facoltà di economia aziendale...
io ho ragionato che dal momento che cerchiamo gli x maggiori di 0 allora levo il valore assoluto e assumo x=x e non -X
da qui mi è venuto
$[-2x^2 - log(x) - x] / [x + log(3x)]$ da qui ho fatto hopital [inf/inf]
e mi è venuto
$[-4x - (1/x) ] / [1/x]$ alla fine... mi rimane un $-oo/0 = -oo$
però con wolprham torna -1
sono nuovo e forse non riuscirò a scriverlo correttamente ma ci provo
$lim x->+oo [|1 - x^2 - log(x) | - |x^2 + x + 1| ] / [x + log(3x)] $
era un limite di un compito di matematica economica per la facoltà di economia aziendale...
io ho ragionato che dal momento che cerchiamo gli x maggiori di 0 allora levo il valore assoluto e assumo x=x e non -X
da qui mi è venuto
$[-2x^2 - log(x) - x] / [x + log(3x)]$ da qui ho fatto hopital [inf/inf]
e mi è venuto
$[-4x - (1/x) ] / [1/x]$ alla fine... mi rimane un $-oo/0 = -oo$
però con wolprham torna -1
Risposte
"massi88firenze":
$lim x->+oo [|1 - x^2 - log(x) | - |x^2 + x + 1| ] / [x + log(3x)] $
Dato che $x->+\infty$, ci sarà un $\bar(x)>0$ per cui il primo termine del numeratore è sempre negativo: quindi togliamo il valore assoluto dal primo e cambiamo segno.
Togliamo anche quel valore assoluto dal secondo dato che anche lì è sempre positivo per $x>0$.
Otteniamo
$lim_(x->+\infty) \frac{x^2+log(x)-1-x^2-x-1}{x+log(3x)}=lim_(x->+\infty) \frac{log(x)-x-2}{x+log(3x)}$
A questo punto, se raccogli\metti in evidenza la $x$ al numeratore e al denominatore, puoi direttamente trarre conclusioni: ammesso che tu sappia - o comunque ti sono state dette - cose come "un polinomio qualsiasi tende a $+\infty$ più rapidamente del logaritmo" e cose simili...
Benvenuto al forum e buona permanenza!
"Zero87":
[quote="massi88firenze"]$lim x->+oo [|1 - x^2 - log(x) | - |x^2 + x + 1| ] / [x + log(3x)] $
Dato che $x->+\infty$, ci sarà un $\bar(x)>0$ per cui il primo termine del numeratore è sempre negativo: quindi togliamo il valore assoluto dal primo e cambiamo segno.
Togliamo anche quel valore assoluto dal secondo dato che anche lì è sempre positivo per $x>0$.
Otteniamo
$lim_(x->+\infty) \frac{x^2+log(x)-1-x^2-x-1}{x+log(3x)}=lim_(x->+\infty) \frac{log(x)-x-2}{x+log(3x)}$
A questo punto, se raccogli\metti in evidenza la $x$ al numeratore e al denominatore, puoi direttamente trarre conclusioni: ammesso che tu sappia - o comunque ti sono state dette - cose come "un polinomio qualsiasi tende a $+\infty$ più rapidamente del logaritmo" e cose simili...
Benvenuto al forum e buona permanenza![/quote]
perfetto... adesso torna... ho sbagliato a trattare il primo valore assoluto... mi puoi spiegare perchè hai cambiato il segno anche di $1- x^2 - log(x) $ nonostante davanti non ci sia un segno - ??
cioè domani ho la correzione del compito (ho preso uno scarso 18) per migliorarlo devo saper capire i miei errori
"massi88firenze":
mi puoi spiegare perchè hai cambiato il segno anche di $1- x^2 - log(x) $ nonostante davanti non ci sia un segno - ??
Benvenuto anche da parte mia
Te l'ho ha già spiegato:
"Zero87":
Dato che $x->+\infty$, ci sarà un $\bar(x)>0$ per cui il primo termine del numeratore è sempre negativo: quindi togliamo il valore assoluto dal primo e cambiamo segno.
"Brancaleone":
[quote="massi88firenze"]mi puoi spiegare perchè hai cambiato il segno anche di $1- x^2 - log(x) $ nonostante davanti non ci sia un segno - ??
Benvenuto anche da parte mia
Te l'ho ha già spiegato:
"Zero87":[/quote]
Dato che $x->+\infty$, ci sarà un $\bar(x)>0$ per cui il primo termine del numeratore è sempre negativo: quindi togliamo il valore assoluto dal primo e cambiamo segno.
si ho visto ma non ci arrivo... bisogna fare un'osservazione generale sull'intero numeratore oppure è semplicemente una regola del valore assoluto? mi manca questo passaggio...
io so che che $|x| = x ... se x>= 0 ....e .... -x .....se x<0$
quindi ho preso ho preso tutte le x del numeratore e le ho lasciate invariate visto che il limite tende a +infinito... ho semplicemente cambiato il segno del secondo modulo del numeratore perchè c'era un meno davanti, e l'ho inteso come se fosse un meno davanti ad una parentesi... ma probabilmente è stato solo un caso che abbia azzeccato la "trasformazione" del secondo modulo e magari non c'entra niente con la regola del meno davanti a parentesi
Prendi $g(x)=1-x^2-ln(x)$: per $x->+oo$ come si comporta $g(x)$? - gerarchia degli infiniti
Ricordando poi come già sai che
dovresti ora capire il perché del cambio segno.
Ricordando poi come già sai che
$|x|={(x text( se ) x>=0),(-x text( se ) x<0):}$
dovresti ora capire il perché del cambio segno.
"Brancaleone":
Prendi $g(x)=1-x^2-ln(x)$: per $x->+oo$ come si comporta $g(x)$? - gerarchia degli infiniti
M'hai anticipato (m'ero assentato un'oretta), dando una spiegazione formidabile.
Comunque, di mio, do un'alternativa: teniamo sempre conto della gerarchia degli infiniti, però.
$1-x^2+log(x)->-\infty$ per $x->-\infty$.
Quindi, per il teorema di permanenza del segno che negli ultimi due giorni qua avrò nominato 50 volte (
), esiste un reale positivo $\bar(x)$ tale per cui $1-x^2+log(x)<0$ per $x>\bar(x)$.Dunque, poiché al crescere di $x$ quella quantità tende ad essere definitivamente negativa, tolgo il modulo (ovviamente cambiando di segno).
Ora, da difensore d'ufficio di tale teorema, vi dico di tenerlo in considerazione perché sta alla base di un sacco di limiti e di considerazioni che permettono di risolverli. Lo dico solo perché in genere è molto sottovalutato come teorema.
"Brancaleone":
Prendi $g(x)=1-x^2-ln(x)$: per $x->+oo$ come si comporta $g(x)$? - gerarchia degli infiniti
Ricordando poi come già sai che
$|x|={(x text( se ) x>=0),(-x text( se ) x<0):}$
dovresti ora capire il perché del cambio segno.
so che g(x) tende a meno infinito ... ma non mi aiuta
"Zero87":
M'hai anticipato (m'ero assentato un'oretta), dando una spiegazione formidabile.
Grazie
La tua spiegazione però è migliore: aggiunge formalità senza appesantire il ragionamento
"massi88firenze":
so che g(x) tende a meno infinito ... ma non mi aiuta
Ma come no?
Proviamo con l'approccio più diretto benché meno ortodosso: sai che il modulo riporta al segno positivo, e perciò
Se $g(x)->-oo$, allora $|g(x)|=|-oo|=-(-oo)=+oo$
"Brancaleone":
[quote="Zero87"]
M'hai anticipato (m'ero assentato un'oretta), dando una spiegazione formidabile.
Grazie
La tua spiegazione però è migliore: aggiunge formalità senza appesantire il ragionamento
"massi88firenze":
so che g(x) tende a meno infinito ... ma non mi aiuta
Ma come no?
Proviamo con l'approccio più diretto benché meno ortodosso: sai che il modulo riporta al segno positivo, e perciò
Se $g(x)->-oo$, allora $|g(x)|=|-oo|=-(-oo)=+oo$
[/quote]ok grazie
adesso ho capito... quindi per svolgere correttamente un limite del genere devo prima "studiare" ciascun modulo... ok però adesso mi sono confuso sull'altro modulo
scusate ma ho preparato quest'esame in un mese e fino ad un mese fa non ricordavo nemmeno cosa fosse un logaritmo, contando che ho fatto il classico (quindi matematica zero) non ho molta confidenza con la matematica...anche se non mi ritengo così capoccione
tornando in argomento: seguendo il ragionamento so che il secondo modulo tende a + infinito... ed allora perchè è stato necessario cambiare il segno di tutti e 3 gli elementi x^2 x e 1 ?? perchè c'era il segno meno davanti al modulo??
Ascolta, guarda, ricominciamo daccapo: puntualizzo il numeratore della frazione che compare nel tuo limite.
Riquoto il tuo limite
L'importante è tenere conto che si calcola il limite per $x->+\infty$, quindi si può tranquillamente considerare $x$ maggiore di una certa quantità positiva "a comodità personale".
In genere questa affermazione si rivela utile proprio per togliere i moduli.
Teniamo conto del limite, dunque, ma ti isolo il numeratore, così mi focalizzo sul tuo problema.
Hai $|1-x^2-log(x)|-|x^2+x+1|$ al numeratore.
Inizio dal secondo modulo perché è più facile: puoi verificare che è sempre positivo (alle superiori lo chiamavamo "falso quadrato"). In questo caso togli il modulo perché il suo argomento ha un segno definito; inoltre, poiché tale segno è quello positivo, non serve cambiare segno.
Siamo nel caso $|a|=a$ poiché $a>0$.
Ottieni, dunque
$|1-x^2-log(x)|-|x^2+x+1|=|1-x^2-log(x)|-(x^2+x+1)=|1-x^2-log(x)|-x^2-x-1$
Il segno meno è quello che sta proprio davanti al modulo. Se hai $-|a|$ e $a$ è positivo, togli il modulo ma c'è sempre quel meno davanti che resta!
A questo punto passiamo al primo modulo (me lo sono tenuto per ora perché è più difficile).
Ora, sai - o comunque mi sembra che lo sai - che
$lim_(x->+\infty) (1-x^2-log(x)) =-\infty$
Posso richiamarti la "gerarchia degli infiniti" citata anche da Brancaleone, tanto per dare l'idea.
Per il teorema della permanenza del segno - va benissimo anche la spiegazione di Brancaleone, ma questa mi sembra più intuitiva - sai che esiste un certo $x$ positivo fissato, che chiamo $\bar(x)$, tale per cui
$1-x^2-log(x)<0$.
Fino a qui puro e semplice teorema della permanenza del segno.
Quindi, dato che stiamo facendo il limite per $x->+\infty$, possiamo tranquillamente considerare $x>\bar(x)$ e, in questo modo, l'argomento del modulo ha un segno che non cambia, nel nostro caso è negativo.
Quindi posso togliere il modulo ma, attenzione, ora siamo nel caso $|a|=-a$ proprio perché $a$ è negativo.
Tenuto conto delle premesse, otteniamo al numeratore
$-1+x^2+log(x)-x^2-x-1=log(x)-x-2$.
Il resto è storia (come la Spagna che sta vincendo 8-0 ). 
Riquoto il tuo limite
"massi88firenze":
$lim x->+oo [|1 - x^2 - log(x) | - |x^2 + x + 1| ] / [x + log(3x)] $
L'importante è tenere conto che si calcola il limite per $x->+\infty$, quindi si può tranquillamente considerare $x$ maggiore di una certa quantità positiva "a comodità personale".
In genere questa affermazione si rivela utile proprio per togliere i moduli.
Teniamo conto del limite, dunque, ma ti isolo il numeratore, così mi focalizzo sul tuo problema.
Hai $|1-x^2-log(x)|-|x^2+x+1|$ al numeratore.
Inizio dal secondo modulo perché è più facile: puoi verificare che è sempre positivo (alle superiori lo chiamavamo "falso quadrato"). In questo caso togli il modulo perché il suo argomento ha un segno definito; inoltre, poiché tale segno è quello positivo, non serve cambiare segno.
Siamo nel caso $|a|=a$ poiché $a>0$.
Ottieni, dunque
$|1-x^2-log(x)|-|x^2+x+1|=|1-x^2-log(x)|-(x^2+x+1)=|1-x^2-log(x)|-x^2-x-1$
Il segno meno è quello che sta proprio davanti al modulo. Se hai $-|a|$ e $a$ è positivo, togli il modulo ma c'è sempre quel meno davanti che resta!
A questo punto passiamo al primo modulo (me lo sono tenuto per ora perché è più difficile).
Ora, sai - o comunque mi sembra che lo sai - che
$lim_(x->+\infty) (1-x^2-log(x)) =-\infty$
Posso richiamarti la "gerarchia degli infiniti" citata anche da Brancaleone, tanto per dare l'idea.
Per il teorema della permanenza del segno - va benissimo anche la spiegazione di Brancaleone, ma questa mi sembra più intuitiva - sai che esiste un certo $x$ positivo fissato, che chiamo $\bar(x)$, tale per cui
$1-x^2-log(x)<0$.
Fino a qui puro e semplice teorema della permanenza del segno.
Quindi, dato che stiamo facendo il limite per $x->+\infty$, possiamo tranquillamente considerare $x>\bar(x)$ e, in questo modo, l'argomento del modulo ha un segno che non cambia, nel nostro caso è negativo.
Quindi posso togliere il modulo ma, attenzione, ora siamo nel caso $|a|=-a$ proprio perché $a$ è negativo.
Tenuto conto delle premesse, otteniamo al numeratore
$-1+x^2+log(x)-x^2-x-1=log(x)-x-2$.
Il resto è storia (come la Spagna che sta vincendo 8-0
).
Mi sento di aggiungere:
[ot]Basta impratichirsi
Anch'io ho fatto il classico, e mi ricordo che il primo giorno di Analisi Matematica è stato un duro colpo: la prima cosa che il professore scrisse alla lavagna fu un geroglifico - che solo più avanti scoprii essere $lim_(x->x_0)$ - e io, con una preparazione del tutto insufficiente che si fondava essenzialmente sulle equazioni di secondo grado* chiesi smarrito al mio futuro amico: "...ma cos'è?". Lui, fresco di scientifico, mi rispose: "Un limite, no?", e io vergognandomi un po' della mia ignoranza risposi: "Eeh... ah limite, già già... sì limite, certo..."
*Al II e III classico i docenti di matematica erano cambiati (problema ormai introiettato e adottato nella scuola italiana) e la classe è giunta alla maturità senza avere bene in testa neanche i concetti elementari della trigonometria: non c'è poi tanto da stupirsi se sono stato l'unico pazzo a non intraprendere una facoltà umanistica.[/ot]
"massi88firenze":
[...] contando che ho fatto il classico (quindi matematica zero) non ho molta confidenza con la matematica...anche se non mi ritengo così capoccione
[ot]Basta impratichirsi
Anch'io ho fatto il classico, e mi ricordo che il primo giorno di Analisi Matematica è stato un duro colpo: la prima cosa che il professore scrisse alla lavagna fu un geroglifico - che solo più avanti scoprii essere $lim_(x->x_0)$ - e io, con una preparazione del tutto insufficiente che si fondava essenzialmente sulle equazioni di secondo grado* chiesi smarrito al mio futuro amico: "...ma cos'è?". Lui, fresco di scientifico, mi rispose: "Un limite, no?", e io vergognandomi un po' della mia ignoranza risposi: "Eeh... ah limite, già già... sì limite, certo..."
*Al II e III classico i docenti di matematica erano cambiati (problema ormai introiettato e adottato nella scuola italiana) e la classe è giunta alla maturità senza avere bene in testa neanche i concetti elementari della trigonometria: non c'è poi tanto da stupirsi se sono stato l'unico pazzo a non intraprendere una facoltà umanistica.[/ot]
grazie ragazzi...molto precisi ed esaurienti... so che non è l'ora giusta e avete fatto un bello sforzo a scrivere 2 pagine di topic...adesso ho capito tutto il limite 
vi ringrazio ancora, ci vedremo sicuramente per il prossimo esame con l'algebra lineare e matrici
vi ringrazio ancora, ci vedremo sicuramente per il prossimo esame con l'algebra lineare e matrici
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