Limite ESAME ANALISI 1

[eugenioenrico]

Ciao a tutti;
ieri ho fatto lo scritto di analisi 1 e dato che ho preso 19 domani posso provare l'orale,
una parte di questo sarà basata sulla prova scritta (suppongo dovrò commentare i miei errori ecc).
In verifica c'era un limite che personalmente ero quasi sicuro di aver fatto giusto, ma oggi, riguardandolo, mi sono reso conto di aver fatto un errore di distrazione.

Il limite in questione è:

$ lim (cosx + x -(pi/2))/((1-senx)log(1-cosx))$ con $ x-> (pi/2) $

In verifica ho sostituito $t= x-(pi/2) $ quindi $t-> 0$ e $x= t+ pi/2$
quindi ho sostituito le t con 0 e alla fine mi è uscito $(pi/2)/0$, quindi il risultato che ho ricavato è più infinito.
Ovviamente è sbagliato in quanto, non so perché, non mi sono accorto che ho fatto tendere t a pi/2 e non a 0.

Ho provato oggi a farlo su wolfram alpha, e dice che il risultato è 1/3, ma non mostra lo svolgimento passo-passo, ed è per questo che vi chiedo una mano.
Ho provato anche a sostituire $t= -cosx $ in modo che potessi dividere il limite in due parti:

$lim -t/(log(1+t)(1-sen(-arcos t))$ che per t->0 dovrebbe fare -1/2

$lim ( (-arcos t) -pi/2)/((1-sen(-arcos t))log(1+t))$ che dovrebbe tendere a + infinito per t->0

Qualcuno mi illuminerebbe?
Grazie in anticipo!

Ps già che ci siete, mi aiutereste con l'equazione differenziale seguente?

$y''(x)-4y'(x)+3y(x)= e^x$

la soluzione dell'omogenea associata è:
$y0(x)= c1 e^(3x) + c2 e^(x) $
come trovo l'integrale particolare?

[anto_zoolander]

Intanto noterei che

$log(1+(-cosx))$\(\displaystyle \sim \)$(-cosx)$

Quindi il limite di partenza già cambia, diventanto

$lim_(x->pi/2)(cosx+x-pi/2)/((sinx-1)cosx)$ il meno l'ho messo nel fattore accanto.

Il cambiamento di variabile da te accennato è ottimo, in quanto se $x-pi/2=z$ e $x->pi/2$ allora $z->0$

$lim_(z->0)(cos(z+pi/2)+z)/((sin(z+pi/2)-1)cos(z+pi/2))$

Ora basta ricordare le formule degli archi associati(o di addizione se preferisci) e si ottengono queste uguaglianze

$cos(z+pi/2)=-sinz$ e $sin(z+pi/2)=cosz$

Sostituendo nel limite $lim_(z->0)(z-sinz)/((cosz-1)(-sinz))$

Nota che non possiamo applicare il limite notevole così come se nulla fosse, ci si annullerebbe il numeratore... Quindi cerchiamo un'altra strada per risolverlo. A denominatore possiamo applicare qualche equivalenza asintotica.

$cosz-1$\(\displaystyle \sim \)$-1/2z^2$ e $-sinz$\(\displaystyle \sim \)$-z$ per $z->0$ ricordiamo che il principio di sostituzione degli infinitesimi vale sempre per il prodotto.

$lim_(z->0)(z-sinz)/(1/2z^3)$

Questa situazione è molto favorevole per chi? De l'hôpital.

$lim_(z->0)(1-cosz)/(3/2z^2)$

lì stavolta possiamo utilizzare il limite notevole $lim_(z->0)(1-cosz)/z^2=1/2$

Dunque il risultato è $1/3$

[eugenioenrico]

Grazie mille!
Ora capisco perchè quelli con cui ho parlato lo avevano trovato difficile xD
Ti chiedo solo più due cose:
1) non capisco perchè $cosz-1$ sia asintoticamente equivalente a $-1/2 z^2 $.
2)potresti dare un'occhiata all'equazione differenziale che ho aggiunto al primo messaggio?

[MMPP12]

Per l'equazione differenziale

$
y''-4y+3y=g(x)
$

con $g(x)=e^x$
una volta trovato la soluzione dell'omogenea associata, cioè

$y(x)_(omog)=c_1e^(3x)+c_2e^x$

puoi procedere con il metodo di somiglianza, cioè cerchi soluzioni del tipo

$y(x)_(part)=Axe^x$

dove A è una costante e x deriva dal fatto che $g(x)=e^(1*x)$ e 1 è una soluzione del polinomio caratteristico.

Svolgi ora le derivate per ricavare il valore di A:

$y(x)_(part)'=Ae^x+Axe^x$
$y(x)_(part)''= 2Ae^x+Axe^x$

Dunque
$2Ae^x+Axe^x -4(Ae^x+Axe^x)+3(Axe^x) = e^x$

da cui ricavi che $A=-1/2$

in definitiva

$y(x)=y(x)_(omog)+y(x)_(part)=c_1e^(3x)+c_2e^x-1/2xe^x$

[anto_zoolander]

Rispondo prima alla seconda, dicendoti che non posso aiutarti. Sono al quinto anno(sto facendo la maturità). Sono a quelle del primo ordine.

comunque:

$lim_(z->0)(1-cosz)/z^2$ è un limite notevole.

La dimostrazione è la seguente: moltiplichi per $(1+cosz)$ numeratore e denominatore, ricordando che non stai facendo nulla di male poichè sei in un intorno di $0$ e non in $0$.

$lim_(z->0)(1-cos^2)/(z^2(1+cosz))=lim_(z->0)(sin^2z)/(z^2(1+cosz))$

$lim_(z->0)(sinz/z)^2*1/(1+cosz)$

Allora il secondo pezzo, è facile, tende a $1/2$ poichè $cosz->1$ per $z->0$
Il primo pezzo è un famoso limite notevole che fa $1$ Quindi il risultato del limite di partenza è proprio $1/2$

$lim_(z->0)(1-cosz)/z^2=1/2$ ovvero $lim_(z->0)(1-cosz)/(1/2z^2)=1$

Ora basta ricordare la definizione di equivalenza asintotica. Ovvero siano $f,g$ due funzioni definite in un intorno di un punto $x_0$ e sia $gne0$ in un intorno di $x_0$ allora si dice che $f$ è asintoticamente equivalente a $g$ se il limite del loro rapporto, per $x->x_0$ è $1$

Da questo possiamo dire che $1-cosz$ è asintotico a $1/2z^2$ per $z->0$

[eugenioenrico]

"studentemat":Per l'equazione differenziale

$
y''-4y+3y=g(x)
$

con $g(x)=e^x$
una volta trovato la soluzione dell'omogenea associata, cioè

$y(x)_(omog)=c_1e^(3x)+c_2e^x$

puoi procedere con il metodo di somiglianza, cioè cerchi soluzioni del tipo

$y(x)_(part)=Axe^x$

dove A è una costante e x deriva dal fatto che $g(x)=e^(1*x)$ e 1 è una soluzione del polinomio caratteristico.

Svolgi ora le derivate per ricavare il valore di A:

$y(x)_(part)'=Ae^x+Axe^x$
$y(x)_(part)''= 2Ae^x+Axe^x$

Dunque
$2Ae^x+Axe^x -4(Ae^x+Axe^x)+3(Axe^x) = e^x$

da cui ricavi che $A=-1/2$

in definitiva

$y(x)=y(x)_(omog)+y(x)_(part)=c_1e^(3x)+c_2e^x-1/2xe^x$

grazie mille!

[eugenioenrico]

"anto_zoolander":Rispondo prima alla seconda, dicendoti che non posso aiutarti. Sono al quinto anno(sto facendo la maturità). Sono a quelle del primo ordine.

comunque:

$lim_(z->0)(1-cosz)/z^2$ è un limite notevole.

La dimostrazione è la seguente: moltiplichi per $(1+cosz)$ numeratore e denominatore, ricordando che non stai facendo nulla di male poichè sei in un intorno di $0$ e non in $0$.

$lim_(z->0)(1-cos^2)/(z^2(1+cosz))=lim_(z->0)(sin^2z)/(z^2(1+cosz))$

$lim_(z->0)(sinz/z)^2*1/(1+cosz)$

Allora il secondo pezzo, è facile, tende a $1/2$ poichè $cosz->1$ per $z->0$
Il primo pezzo è un famoso limite notevole che fa $1$ Quindi il risultato del limite di partenza è proprio $1/2$

$lim_(z->0)(1-cosz)/z^2=1/2$ ovvero $lim_(z->0)(1-cosz)/(1/2z^2)=1$

Ora basta ricordare la definizione di equivalenza asintotica. Ovvero siano $f,g$ due funzioni definite in un intorno di un punto $x_0$ e sia $gne0$ in un intorno di $x_0$ allora si dice che $f$ è asintoticamente equivalente a $g$ se il limite del loro rapporto, per $x->x_0$ è $1$

Da questo possiamo dire che $1-cosz$ è asintotico a $1/2z^2$ per $z->0$

Ho capito
Grazie ancora!