Limite Esame
$lim x→0 sqrt((x+3)/(3^x+2)-1)/arctanx$
E' specificato "da risolvere con l'uso dei notevoli".
Il risultato dovrebbe essere "non esiste " .
In questo tipo di limiti come si ragiona?
E' specificato "da risolvere con l'uso dei notevoli".
Il risultato dovrebbe essere "non esiste " .
In questo tipo di limiti come si ragiona?
Risposte
Come in tutti gli altri... Prova.
Al denominatore moltiplico e divido per x.
Al numeratore ho il limite di quello che sta sotto radice che si riduce al limite del primo "blocco".
A questo punto cerco di ricostruire il $lim x->0 (a^x-1)/x=lna$
Per fare ciò sommo e sottraggo 1 e moltiplico e divido per x.
Dopodiché riscrivo quel primo blocco sotto radice come:
$[(x+3)/x][1/((3^x-1+3)/x)]$
che posso rivedere come
$lim x->0 ((x+3)/x) * lim x->0 1/(((3^x-1)/x)+(3/x))$
Spezzo nella somma dei limiti il secondo dei due.
$lim x->0 (1/(((3^x-1)/x)+(3/x)))= 1/(ln3+lim 3/x) $ dove $lim 3/x$ non esiste.
Ora le mie domande sono due:
1) se il ragionamento è corretto o meno
2) visto che di solito quando ottengo che un limite non esiste significa che ho commesso degli errori, durante una prova d'esame come faccio a capire che è quello il risultato corretto? (personalmente ho pensato di verificare dov'è definita la funzione , per poi continuare calcolando il limite solo per quell'intervallo di valori)
Al numeratore ho il limite di quello che sta sotto radice che si riduce al limite del primo "blocco".
A questo punto cerco di ricostruire il $lim x->0 (a^x-1)/x=lna$
Per fare ciò sommo e sottraggo 1 e moltiplico e divido per x.
Dopodiché riscrivo quel primo blocco sotto radice come:
$[(x+3)/x][1/((3^x-1+3)/x)]$
che posso rivedere come
$lim x->0 ((x+3)/x) * lim x->0 1/(((3^x-1)/x)+(3/x))$
Spezzo nella somma dei limiti il secondo dei due.
$lim x->0 (1/(((3^x-1)/x)+(3/x)))= 1/(ln3+lim 3/x) $ dove $lim 3/x$ non esiste.
Ora le mie domande sono due:
1) se il ragionamento è corretto o meno
2) visto che di solito quando ottengo che un limite non esiste significa che ho commesso degli errori, durante una prova d'esame come faccio a capire che è quello il risultato corretto? (personalmente ho pensato di verificare dov'è definita la funzione , per poi continuare calcolando il limite solo per quell'intervallo di valori)
Ciao pepp1995,
C'è qualcosa che non mi torna non tanto nel risultato, quanto nella tua soluzione: dov'è sparita la radice quadrata?
Credo che tu debba far riferimento ai limiti notevoli seguenti:
$ lim_{f(x) \to 0} frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $
ove nel tuo caso $ a = 1/2 $ e
$ lim_{x \to 0} frac{arctan x}{x} = 1 $
$ lim_{x \to 0} frac{c^x - 1}{x} = ln c, \qquad c > 0 $
C'è qualcosa che non mi torna non tanto nel risultato, quanto nella tua soluzione: dov'è sparita la radice quadrata?
Credo che tu debba far riferimento ai limiti notevoli seguenti:
$ lim_{f(x) \to 0} frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $
ove nel tuo caso $ a = 1/2 $ e
$ lim_{x \to 0} frac{arctan x}{x} = 1 $
$ lim_{x \to 0} frac{c^x - 1}{x} = ln c, \qquad c > 0 $
Sto cercando di ricostruire il limite $lim_{f(x) \to 0} frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a$ , ma mi troverei un +1 sotto radice problematico.
Altro suggerimento?
Altro suggerimento?
"pepp1995":
ma mi troverei un +1 sotto radice problematico.
?
Il $+1$ sotto radice è proprio ciò che ti serve...
Per quanto riguarda il $- 1$ fuori dalla radice, basta aggiungere e togliere $1$.
Lavoro sul numeratore :
$(((x+3)/(3^x+2)-1)^(1/2)) = (((x+3)/(3^x+2)+1-2)^(1/2))=(((x-2*3^x-1)/(3^x+2))+1)^(1/2))$
Per applicare il limite notevole $f(x)$ dev'essere infinitesima . Nel nostro caso :
$f(x)=((x-2*3^x-1)/(3^x+2)) ->-1$ quindi non lo posso applicare.
$(((x+3)/(3^x+2)-1)^(1/2)) = (((x+3)/(3^x+2)+1-2)^(1/2))=(((x-2*3^x-1)/(3^x+2))+1)^(1/2))$
Per applicare il limite notevole $f(x)$ dev'essere infinitesima . Nel nostro caso :
$f(x)=((x-2*3^x-1)/(3^x+2)) ->-1$ quindi non lo posso applicare.
Giusto, il limite notevole che ti ho scritto non è applicabile in questo caso. Però si ha:
$ lim_{x \to 0} frac{sqrt((x+3)/(3^x+2)-1)}{arctan x} = lim_{x \to 0} frac{frac{1}{x} sqrt((x+3 - 3^x - 2)/(3^x+2)) }{frac{arctan x}{x}} = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{arctan x}{x}} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{x} sqrt{frac{1 + x - 3^x}{3^x+2}} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{arctan x}{x}} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{sqrt{x}} sqrt{1/(3^x+2)} \cdot sqrt{frac{x - (3^x - 1)}{x}} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{arctan x}{x}} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 0} sqrt{1/(3^x+2)} \cdot lim_{x \to 0} sqrt{1 - frac{3^x - 1}{x}} $
da cui si evince facilmente che il limite proposto non esiste.
$ lim_{x \to 0} frac{sqrt((x+3)/(3^x+2)-1)}{arctan x} = lim_{x \to 0} frac{frac{1}{x} sqrt((x+3 - 3^x - 2)/(3^x+2)) }{frac{arctan x}{x}} = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{arctan x}{x}} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{x} sqrt{frac{1 + x - 3^x}{3^x+2}} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{arctan x}{x}} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{sqrt{x}} sqrt{1/(3^x+2)} \cdot sqrt{frac{x - (3^x - 1)}{x}} = $
$ = lim_{x \to 0} frac{1}{frac{arctan x}{x}} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{sqrt{x}} \cdot lim_{x \to 0} sqrt{1/(3^x+2)} \cdot lim_{x \to 0} sqrt{1 - frac{3^x - 1}{x}} $
da cui si evince facilmente che il limite proposto non esiste.
Non esiste a causa di quel $lim 1/(x)^(1/2)$ ?
Arrivato a questo punto, come faccio ad essere sicuro che il limite DAVVERO non esista e che non sia solo frutto di un qualche errore di impostazione del calcolo del limite?
Arrivato a questo punto, come faccio ad essere sicuro che il limite DAVVERO non esista e che non sia solo frutto di un qualche errore di impostazione del calcolo del limite?
Beh, non solo: il radicando dell'ultimo limite tende a $1 - ln 3 < 0 $...
Capito . Grazie mille per la risoluzione passo per passo.
Non è che sapresti darmi qualche consiglio su come rendersi conto o meno che il limite non esista durante una prova d'esame ?
Non è che sapresti darmi qualche consiglio su come rendersi conto o meno che il limite non esista durante una prova d'esame ?
"pepp1995":
Grazie mille per la risoluzione passo per passo.
Prego!
"pepp1995":
Non è che sapresti darmi qualche consiglio su come rendersi conto o meno che il limite non esista durante una prova d'esame ?
Eh, beh, questo non è semplicissimo in generale, non solo durante una prova di esame (quando si aggiunge anche lo stress da esame...
)Credo che la capacità di "vedere" la soluzione (o meglio l'assenza di soluzione in questo caso...) sia una capacità che si acquisisce col tempo, con l'esperienza, facendo un bel po' di esercizi di diverso genere... Non esiste la bacchetta magica. Poi bisogna anche provare, senza paura di "sporcarsi le mani" e dei fallimenti: ti ricordi la storia di Edison?
Edison fece migliaia di tentativi per costruire la lampadina (si dice circa 2.000). Si narra che usò persino un pelo di barba.
Durante una conferenza stampa un giornalista gli chiese: “Dica, Mr. Edison, come si è sentito a fallire duemila volte nel fare una lampadina?”. Ebbene, la risposta di Edison fu:
“Io non ho fallito duemila volte nel fare una lampadina; semplicemente ho trovato millenovecentonovantanove modi su come non va fatta una lampadina.“
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