Limite ed o-piccolo
ho un limite per x che tende ad infinito, ma non ho capito questo passaggio:
\(\displaystyle \frac {2(3+x+2x^\alpha)-(x+1)(1+2\alpha x^{\alpha -1})}{2(3+x+2x^\alpha)^{3/2}} =\)
\(\displaystyle = -\frac{\alpha -2}{2\sqrt{2}}x^{-\alpha/2}(1+o(1)) < 0 \)
non so se può servire, ma l'esempio studia una decrescenza di una funzione, mostrando come la derivata per x che tende all'infinito sia minore di zero, non riesco proprio a capire come ha effettuato il passaggio...
l'esercizio si può trovare anche a pagina 326 del libro "Elementi di analisi Matematica" (Bertsch, Dal Passo)
\(\displaystyle \frac {2(3+x+2x^\alpha)-(x+1)(1+2\alpha x^{\alpha -1})}{2(3+x+2x^\alpha)^{3/2}} =\)
\(\displaystyle = -\frac{\alpha -2}{2\sqrt{2}}x^{-\alpha/2}(1+o(1)) < 0 \)
non so se può servire, ma l'esempio studia una decrescenza di una funzione, mostrando come la derivata per x che tende all'infinito sia minore di zero, non riesco proprio a capire come ha effettuato il passaggio...
l'esercizio si può trovare anche a pagina 326 del libro "Elementi di analisi Matematica" (Bertsch, Dal Passo)
Risposte
In effetti c'è un po' di strada da fare.
Sviluppando i prodotti a numeratore:
[tex]= \frac{6+2x + 4x^a - x - 1 - 2a x^a - 2a x^{a-1}}{2 (3+x + 2x^a) ^{3/2}}[/tex]
Ora c'è da prendere solo gli infiniti di ordine superiore (se ci sono infiniti) sia al numeratore che al denominatore.
I termini in $x$ tendono sicuramente ad infinito, quindi termini finiti come $6$ e $-1$ sopra e $3$ sotto possono essere trascurati.
Per quanto riguarda le potenze di $a$. Se $a>1$, si ha che $x^a$ è infinito d'ordine maggiore di $x$ e anche di $x^{a-1}$ per ovvie ragioni, quindi resta:
[tex]= \frac{(4 - 2a) x^a + o(x^a)}{2 (2x^a + o(x^a)) ^{3/2}} = \frac{(2 - a) x^a + o(x^a)}{ 2^{3/2} x^{3/2 a} + o(x^{3/2 a}) }= \frac{2-a}{2 \sqrt{2} }( x^{-a/2} + o(x^{-a/2}) ) = \frac{2-a}{2 \sqrt{2} } x^{-a/2} (1+ o(1))[/tex]
Di mezzo ci sono un po' di proprietà degli o-piccoli che si possono dimostrare, ma una volta note sono abbastanza intuitive.
(Sperando di non averne sbagliata qualcuna)
Sviluppando i prodotti a numeratore:
[tex]= \frac{6+2x + 4x^a - x - 1 - 2a x^a - 2a x^{a-1}}{2 (3+x + 2x^a) ^{3/2}}[/tex]
Ora c'è da prendere solo gli infiniti di ordine superiore (se ci sono infiniti) sia al numeratore che al denominatore.
I termini in $x$ tendono sicuramente ad infinito, quindi termini finiti come $6$ e $-1$ sopra e $3$ sotto possono essere trascurati.
Per quanto riguarda le potenze di $a$. Se $a>1$, si ha che $x^a$ è infinito d'ordine maggiore di $x$ e anche di $x^{a-1}$ per ovvie ragioni, quindi resta:
[tex]= \frac{(4 - 2a) x^a + o(x^a)}{2 (2x^a + o(x^a)) ^{3/2}} = \frac{(2 - a) x^a + o(x^a)}{ 2^{3/2} x^{3/2 a} + o(x^{3/2 a}) }= \frac{2-a}{2 \sqrt{2} }( x^{-a/2} + o(x^{-a/2}) ) = \frac{2-a}{2 \sqrt{2} } x^{-a/2} (1+ o(1))[/tex]
Di mezzo ci sono un po' di proprietà degli o-piccoli che si possono dimostrare, ma una volta note sono abbastanza intuitive.
(Sperando di non averne sbagliata qualcuna)
grazie della risposta, avrei alcune domande:
1) nel primo passaggio della seconda riga, il 2 al denominatore si trascura?
2) si può portare l'o-piccolo dal denominatore a sommare la frazione? non si cambia il segno?
quindi il ragionamento è se il limite tende ad infinito, prendiamo la funzione che tende più velocemente e tutte le altre le mettiamo nell'o-piccolo di questa mentre se il limite tende a zero ci interessa quella che tende più lentamente e le altre vanno nell'opiccolo di questa?
Volendo fare un ragionamento simile con l'O-grande si può fare?
1) nel primo passaggio della seconda riga, il 2 al denominatore si trascura?
2) si può portare l'o-piccolo dal denominatore a sommare la frazione? non si cambia il segno?
quindi il ragionamento è se il limite tende ad infinito, prendiamo la funzione che tende più velocemente e tutte le altre le mettiamo nell'o-piccolo di questa mentre se il limite tende a zero ci interessa quella che tende più lentamente e le altre vanno nell'opiccolo di questa?
Volendo fare un ragionamento simile con l'O-grande si può fare?
1) No, il 2 non si trascura perchè è a moltiplicare. Si può mettere un 2 in evidenza a numeratore però e quindi si semplificano.
2) C'era un errore di scrittura. Ho corretto. Dimmi se così è ancora dubbio.
2) C'era un errore di scrittura. Ho corretto. Dimmi se così è ancora dubbio.
ok quindi solo per essere chiari al massimo, sempre nella seconda riga, dal passaggio 2 al tre, di preciso come si agisce, si dividono il primo pezzo del numeratore e il primo del denominatore e il secondo del num e il secondo del dem oppure si raccoglie sopra e sotto e si divide?
avrei un altro dubbio, come si spiega questa cosa:
se \(\displaystyle |a|<1 , \forall \lambda >0 \)
allora
\(\displaystyle \frac{|a^k|}{\sqrt{k^2+3k+1}} = k^{-\lambda}o(1)\) per \( k \rightarrow \infty \)
da quello che riesco a ipotizzare so che se \(\displaystyle |a|<1 \) allora avrei una forma del tipo:
\(\displaystyle \frac{1}{b^k\sqrt{k^2+3k+1}} = \frac{1}{b^k (k+o(k))} \)
con \(\displaystyle b >0 \), quello che forse ignoro è il cambio di base? \(\displaystyle b^k \) va modificato come \(\displaystyle k^? \)
se \(\displaystyle |a|<1 , \forall \lambda >0 \)
allora
\(\displaystyle \frac{|a^k|}{\sqrt{k^2+3k+1}} = k^{-\lambda}o(1)\) per \( k \rightarrow \infty \)
da quello che riesco a ipotizzare so che se \(\displaystyle |a|<1 \) allora avrei una forma del tipo:
\(\displaystyle \frac{1}{b^k\sqrt{k^2+3k+1}} = \frac{1}{b^k (k+o(k))} \)
con \(\displaystyle b >0 \), quello che forse ignoro è il cambio di base? \(\displaystyle b^k \) va modificato come \(\displaystyle k^? \)
"fabioamd87":
ok quindi solo per essere chiari al massimo, sempre nella seconda riga, dal passaggio 2 al tre, di preciso come si agisce, si dividono il primo pezzo del numeratore e il primo del denominatore e il secondo del num e il secondo del dem oppure si raccoglie sopra e sotto e si divide?
Ti suggerisco questo link http://math.unipa.it/~trapani/AppuntiLezioni/confrlocale.pdf che tratta piuttosto bene equivalenze ed o-piccoli, con teoremi, dimostrazioni e moltissimi esempi. In particolare ho usato il teorema 2.7 di pagg. 10 e 11, che dice che se hai una frazione, puoi trascurare gli o-piccoli al numeratore e al denominatore per il calcolo del limite.
Siccome noi non stiamo calcolando il limite, non possiamo semplicemente tagliare gli o-piccoli, perche' non sarebbe esatto, possiamo pero' trascurarli in un primo momento, ottenendo:
[tex]\frac{2-a}{2 \sqrt{2}} x^{-a/2}[/tex] e poi per specificare che questo risultato e' approssimato, aggiungere l'o-piccolo (che deve avere come argomento la $x$ alla stessa potenza del termine calcolato).
Una precisazione:
[tex]\frac{2-a}{2 \sqrt{2}} x^{-a/2} + o(x^{-a/2}) = \frac{2-a}{2 \sqrt{2}} ( x^{-a/2} + o(x^{-a/2}))[/tex]
In pratica scrivere la prima o la seconda di queste espressioni e' equivalente perche' una costante per un o-piccolo da' lo stesso o-piccolo (anche questo e' discusso nel link, ma forse gia' lo sapevi). Io ho usato la seconda espressione, perche' fa venire fuori il risultato per come lo da' il tuo libro.
P.s.: Nota pure che pero' questo vale solo se $a>1$.
Per l'altro dubbio non devi fare nessun passaggio in pratica. Sta solo dicendo che un'esponenziale di base minore di $1$ per esponente che tende $+ infty$ e' un o-piccolo di qualsiasi potenza negativa, cioe' sta solo applicando la definizione di o-piccolo (ammesso che gia' sai che l'esponenziale va a 0 piu' velocemente di qualsiasi potenza, detto barbaramente).
ciao, leggevo il pdf sugli o-piccoli e non mi trovo su un esercizio, pagina 8, Esempio 1.20:
in particolare quando dice che: \(\displaystyle x^2 + 1 \sim \infty x^2 \)
il \(\displaystyle 2x^2 \) non andrebbe sotto la frazione? (sopra non dovrebbe moltiplicare per \(\displaystyle x^{-2} \)?
in particolare quando dice che: \(\displaystyle x^2 + 1 \sim \infty x^2 \)
il \(\displaystyle 2x^2 \) non andrebbe sotto la frazione? (sopra non dovrebbe moltiplicare per \(\displaystyle x^{-2} \)?
Si giusto dev'essere un errore di stampa anche perchè altrimenti avresti una nuova forma indeterminata.
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