Limite e teorema di Lagrange

[Tarob]

Potreste aiutarmi a capire come risolvere questo esercizio?

Sia f(x) una funzione derivabile tale che f'(x)>1/2 per ogni x appartenente ad R. Dimostrare che allora il limite per x che tende a più infinito di f(x) è uguale a più infinito.

Probabilmente richiede l'utilizzo del teorema di Lagrange.
Dato che f'(x)>0 allora f è strettamente crescente, avevo pensato di prendere un sotto intervallo del tipo [x, x+h] per poter utilizzare Lagrange ma non riesco poi ad andare avanti.

[Palliit]

Ciao. Magari sbaglio, ma proverei a usare Lagrange nell'intervallo $[0,x]$, con ovviamente $x>0$.

[Tarob]

"Palliit":Ciao. Magari sbaglio, ma proverei a usare Lagrange nell'intervallo $[0,x]$, con ovviamente $x>0$.

Non saprei, dato che bisogna generalizzare il risultato credo sia necessario usare delle variabili.

[Palliit]

"Tarob":credo sia necessario usare delle variabili.

Mi pare che $x$ si possa interpretare come una variabile.

$(f(x)-f(0))/x=f'(xix)" "$ per un opportuno $" "0...$

[Tarob]

"Palliit":[quote="Tarob"]credo sia necessario usare delle variabili.

Mi pare che $x$ si possa interpretare come una variabile.

$(f(x)-f(0))/x=f'(xix)" "$ per un opportuno $" "0...$

[/quote]

Ovviamente intendevo per lo 0
Puoi spiegarmelo? Ce l'avevo nel compito d'esame e voglio capire cosa avrei dovuto fare

[Palliit]

La scelta di $0$ è arbitraria, dovuta solo a comoditá, puoi sostituirlo con qualunque altro valore $k$, in quanto se $f$ è derivabile in $RR$ alllora è certamente definita in $RR$. In ogni caso dall'ultimo passaggio si ha: $f(x)>1/2x+f(0)$ (oppure: $f(x)>1/2(x-k)+f(k)$ se preferisci un valore diverso da $0$). Il secondo membro tende a $+oo$ e un teorema del confronto garantisce che altrettanto faccia $f(x)$.