Limite e sviluppo di taylor
Ciao,
ho questi due esercizi che mi stanno facendo penare non poco:
lim n->+inf $(n^3 - 1)^(1/3) - (n^3 + n^2)^(1/3)$
in questo caso non poassiamo usare l'asintotico, quindi ho provato a moltiplicare e dividere il per:
$(n^3 - 1)^(2/3) + (n^3 + n^2)^(2/3)$
a questo punto otterrei:
$(-1 -n^2)/((n^3 - 1)^(2/3) + (n^3 + n^2)^(2/3))$ ma niente da fare....
Vorrei capire che strada è meglio percorrere per affrontare questo esercizio
Ho anche un problema nello scrivere lo svilippo di taylor al 5 ordine di $cos(e^x-x-1)$ per x->0
comincio con: $cos(x)=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)+o(x^5)$
ed ora qui cominciano i problemi...sostituendo $(e^x-x-1)$ al posto delle x mi blocco, a causa degli elevamenti a potenza che mi creano non pochi problemi allungando notevolmente il tutto... anche qui consigli sul come affrontare il prblema?
grazie
ho questi due esercizi che mi stanno facendo penare non poco:
lim n->+inf $(n^3 - 1)^(1/3) - (n^3 + n^2)^(1/3)$
in questo caso non poassiamo usare l'asintotico, quindi ho provato a moltiplicare e dividere il per:
$(n^3 - 1)^(2/3) + (n^3 + n^2)^(2/3)$
a questo punto otterrei:
$(-1 -n^2)/((n^3 - 1)^(2/3) + (n^3 + n^2)^(2/3))$ ma niente da fare....
Vorrei capire che strada è meglio percorrere per affrontare questo esercizio
Ho anche un problema nello scrivere lo svilippo di taylor al 5 ordine di $cos(e^x-x-1)$ per x->0
comincio con: $cos(x)=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)+o(x^5)$
ed ora qui cominciano i problemi...sostituendo $(e^x-x-1)$ al posto delle x mi blocco, a causa degli elevamenti a potenza che mi creano non pochi problemi allungando notevolmente il tutto... anche qui consigli sul come affrontare il prblema?
grazie
Risposte
nell'esercizio dello sviluppo di taylor è corretto rimuevere da (e^x-x-1) e^x e tenere solo (-x-1) in quanto e^x è sempre maggiore di o(x^5) quindi non va tenuto conto? se si diventa molto piu semplice poi...
sul primo sono ancora fermo ogni consiglio è ben accetto
sul primo sono ancora fermo ogni consiglio è ben accetto
Al primo esercizio, se vuoi moltiplicare per il termine da te indicato, i termini misti non vanno via (non è una differenza di quadrati).
Al secondo, direi di sviluppare prima $e^x$ che sommata a $-x-1$ elimina alcuni termini, e poi sfruttare lo sviluppo del coseno.
Al secondo, direi di sviluppare prima $e^x$ che sommata a $-x-1$ elimina alcuni termini, e poi sfruttare lo sviluppo del coseno.
il primo non riesco proprio a capirlo...
per quel che riguarda il secondo allora svilupperei al primo grado(e^x=1+o(x)) quindi svilupperi cio' che rimane: cos(-x)
per quel che riguarda il secondo allora svilupperei al primo grado(e^x=1+o(x)) quindi svilupperi cio' che rimane: cos(-x)
Uhm... se interpreto correttamente:
$lim_(x rightarrow /infty) root(3)(n^3-1)-root(3)(n^3+n^2)$
da qui moltiplico e divido per $ root(3)(n^3-1)^2+root(3)(n^3-1)*root(3)(n^3+n^2)+root(3)(n^3+n^2)^2$ ricordando che $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$:
$lim_(x rightarrow /infty) root(3)(n^3-1)-root(3)(n^3+n^2)=lim_(x rightarrow /infty) (n^3-1-n^3+n^2)/(root(3)((n^3-1)^2)+root(3)(n^3-1)*root(3)(n^3+n^2)+root(3)((n^3+n^2)^2)) =$
$lim_(x rightarrow /infty) (n^2-1)/(root(3)((n^3-1)^2)+root(3)(n^3-1)*root(3)(n^3+n^2)+root(3)((n^3+n^2)^2)) = lim_(x rightarrow /infty) (1-1/n^2)/(root(3)((1-1/n^3)^2)+root(3)(1-1/n^3)*root(3)(1+1/n)+root(3)((1+1/n)^2)) = 1/3$
Sempre se non mi sono perso nei conti
$lim_(x rightarrow /infty) root(3)(n^3-1)-root(3)(n^3+n^2)$
da qui moltiplico e divido per $ root(3)(n^3-1)^2+root(3)(n^3-1)*root(3)(n^3+n^2)+root(3)(n^3+n^2)^2$ ricordando che $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$:
$lim_(x rightarrow /infty) root(3)(n^3-1)-root(3)(n^3+n^2)=lim_(x rightarrow /infty) (n^3-1-n^3+n^2)/(root(3)((n^3-1)^2)+root(3)(n^3-1)*root(3)(n^3+n^2)+root(3)((n^3+n^2)^2)) =$
$lim_(x rightarrow /infty) (n^2-1)/(root(3)((n^3-1)^2)+root(3)(n^3-1)*root(3)(n^3+n^2)+root(3)((n^3+n^2)^2)) = lim_(x rightarrow /infty) (1-1/n^2)/(root(3)((1-1/n^3)^2)+root(3)(1-1/n^3)*root(3)(1+1/n)+root(3)((1+1/n)^2)) = 1/3$
Sempre se non mi sono perso nei conti
se non sbaglio c'è solo il fatto che dopo aver moltiplicato e diviso dovrebbe uscire al numeratore $n^3-1-n^3-n^2$
e alla fine esce - 1/3
credo che non ci sarei mai arrivato da solo, mi stava scoppiando la testa
grazie!
EDIT: ora ho capito!
e alla fine esce - 1/3
credo che non ci sarei mai arrivato da solo, mi stava scoppiando la testa
grazie!
EDIT: ora ho capito!
Sì è vero ho dimenticato un segno!
Comunque di nulla!
Comunque di nulla!
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