Limite e serie importanti

[maria601]

Vorrei sottoporre alla vostra attenzione il seguente limite $lim(x->0)(log(1+x)-x)/((e^x-1)sen3x)$ ,ho provato con i limiti notevoli e mi viene infinito,è corretto? Data la serie $\sum(n=1)^N((n^2)(n^(1/2))+3n^2)/((3n^4)(n^(1/2))+n^3+5) $ mi risulta uguale alla serie armonica (ho sostituito gli infinitesimi) e quindi è divergente?

[gugo82]

Per quanto riguarda il limite, al numeratore hai un infinitesimo d'ordine $2$, mentre al denominatore il prodotto di due infinitesimi d'ordine $1$: pertanto il limite è necessariamente finito. Ricontrolla i calcoli.

Per quanto riguarda la serie, metti in evidenza l'infinito d'ordine maggiore al numeratore e denominatore, semplifica e confronta la parte infinitesima con una serie armonica generalizzata: dovresti trovare convergenza. Ricontrolla anche qui.

[Vincent2]

Il limite dovrebbe essere -$-1/6$.

[maria601]

Poichè è una cosa importante..... va bene nel seguente modo: nel limite dividiamo numeratore e denominatore per x^2 quindi al denominatore calcoliamo il limite mediante i limiti notevoli e viene 3, al numeratore avendo (log(1+x)-x)/x^2 calcoliamo mediate Hospital trovando -1/2. Per la serie si possono trascurare gli infinitesimi di ordine inferiore e quindi ottenere 1/3(1/n^2) che è convergente. Per stabilire l'ordine degli infinitesimi nel limite hai usato lo sviluppo di Taylor ed essendo due infinitesimi dello stesso ordine al num e al den viene un valore finito ? Grazie

[gugo82]

Ok, ora tutto a posto.
Non dimenticare di fare il prodotto dei limiti nel primo caso.

Per quanto riguarda l'ordine, sì ho usato Taylor.

[maria601]

Grazie ancora