Limite e induzione

[rbtqwt]

Buon giorno, vorrei sapere se è plausibile una dimostrazione per induzione di quanto segue:
Posto $\gamma > 0, \gamma \in \mathbb{R}$, definita $ \sigma(\gamma) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{\gamma+1}} \sum_{k=1}^n k^\gamma $, si nota che $\sigma(1) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n k = \lim_{n \to +\infty} \frac{n(n+1)}{2n^2} = \frac{1}{2}$.
Supponendo che $\forall \gamma$ sia $ \sigma(\gamma) = \frac{1}{\gamma+1}$, è lecito considerare $\sigma(\gamma+1)$ come segue (ossia determinata da $\sigma(\gamma)$), applicando la regola di de L'Hôpital ?
$ \sigma(\gamma+1) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{\gamma+2}} \sum_{k=1}^n k^{\gamma+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\gamma+1}{\gamma+2} \frac{1}{n^{\gamma+1}} \sum_{k=1}^n k^\gamma = \frac{\gamma+1}{\gamma+2} \sigma(\gamma) = \frac{1}{\gamma+2} $
In questo modo si avrebbe $\sigma(1) \wedge \forall gamma \sigma(\gamma) \Rightarrow \sigma(\gamma+1)$, così da risultare vera $\sigma(gamma) = \frac{1}{\gamma+1}, \forall \gamma>1$.
Tale ipotizzata relazione varrebbe solo per $\gamma \in \mathbb{N}$?
In altro modo, come sarebbe possibile determinare il valore di $\sigma(\gamma)$ ?
Ringrazio, e mi scuso se il problema dovesse risultare mal posto o privo di senso: è sorto per curiosità.

[zorn1]

Non è chiarissimo spiegati meglio. E comunque $k$ chi sarebbe?

[rbtqwt]

Mi accorgo solo ora di aver scritto delle idiozie: ho tentato di derivare rispetto a $k$ e $n$, non so come e perché mi sia venuto in mente. Poiché il mio approccio era scorretto, come potrei ottenere un valore esplicito per $\sigma(\gamma)$?

[TomSawyer1]

La tua prova per induzione sarebbe valida solo per $NN$, ovviamente, perché $RR$ non è un campo tale che ogni suo sottoinsieme ha un minimo elemento appartenente al sottoinsieme.

Un'approccio più costruttivo per dimostrare la formula (carina) per $m \in NN$ ($m=\gamma$, più comodo). Sappiamo che $1^k+2^k+...+n^k=\sum_{i=1}^k S(k,i)((n+1),(i+1))i!$, dove $S(k,i)$ sono i numeri di Stirling di seconda specie. Allora $\sigma(m)=\lim_{n\to\infty} 1/n^{m+1} \sum_{i=1}^{m}S(m,i)((n+1),(i+1))i! =\lim_{n\to\infty}1/(n^{m+1})((n+1),(m+1))n!$, perché tutti gli altri termini sono di grado $

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[rbtqwt]

Proprio quanto volevo, grazie per la chiarezza!

Un ulteriore dubbio: sarebbe possibile ricondurre il limite ad un integrale, o vi sono delle limitazioni? Potrei ad esempio fare quanto segue (supponendo $\gamma>0$)?
$\sigma(\gamma) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^{\gamma+1}} \sum_{k=1}^n k^\gamma = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^\gamma = \int_0^1 x^\gamma dx = \frac{1}{\gamma+1}$

[TomSawyer1]

E' vero per $\gamma \in RR, \gamma >0$ che $\sum_{k=1}^nk^{\gamma} ~~ n^{\gamma+1}/(\gamma+1)$, quindi il limite è $1/(\gamma+1)$. Per $\gamma <0$ la funzione sarà uguale a qualche costante.