Limite e giustificazioni
Ho questo limite di successione, desidero sapere come procedere per risolverlo e se la mia risoluzione è troppo affrettata.
$lim_{n \to \infty}arcsin((2n+3)/(sqrt(n^4+5)))log(7^n+n^8)$
Il mio ragionamento è stato:
l'arcoseno si può approssimare a $2/n^2$ e il logaritmo a $7^n$, poiché raccogliendo gli altri termini vanno a zero all'infinito.
A questo punto sostituisco con $y=1/n$ ed ottendo il $lim_(y->0)arcsin(2y)log(7^y)$
L'arcoseno in 0 è 0 e il logaritmo in 1 ($7^infty=1$) è 0, per cui la soluzione è 0.
Se il ragionamento è sbagliato o si può migliorare qualcosa ditemelo, grazie.
$lim_{n \to \infty}arcsin((2n+3)/(sqrt(n^4+5)))log(7^n+n^8)$
Il mio ragionamento è stato:
l'arcoseno si può approssimare a $2/n^2$ e il logaritmo a $7^n$, poiché raccogliendo gli altri termini vanno a zero all'infinito.
A questo punto sostituisco con $y=1/n$ ed ottendo il $lim_(y->0)arcsin(2y)log(7^y)$
L'arcoseno in 0 è 0 e il logaritmo in 1 ($7^infty=1$) è 0, per cui la soluzione è 0.
Se il ragionamento è sbagliato o si può migliorare qualcosa ditemelo, grazie.
Risposte
Attenzione. Se sostituisci $y=1/n$ allora $log(7^n)\Rightarrowlog(7^(1/y))=1/ylog7$. Avrai ancora una forma indeterminata.
"K.Lomax":
Attenzione. Se sostituisci $y=1/n$ allora $log(7^n)\Rightarrowlog(7^(1/y))=1/ylog7$. Avrai ancora una forma indeterminata.
Hai perfettamente ragione, quindi a questo punto ho
$lim_(y->0)arcsin(2y)1/ylog7$ Ho una forma indeterminata del tipo $0/0$, applico Hopital e ottengo:
$lim_(y->0)log7/sqrt(1-4y^2)=log7$
Dimmi se può andare bene, grazie.
Manca un $2$ nella derivata dell'arcoseno quindi il risultato è $2log7$. Per il resto è ok.
Grazie!
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