Limite e elevato ∞/∞
Buongiorno a tutti.
Nello studio di analisi mi sono trovato alle prese con questo limite: Lim x-->+∞ $ e^(x/(x-1)) $
ovviamente siamo nella situazione di $ e^((+∞)/(+∞)) $ e qui mi sono trovato in difficoltà...ho pensato di applicare il metodo utilizzato nelle funzioni fratte, ossia quello di confrontare l'ordine di infinito tra Numeratore e denominatore, e avendo x sia sopra che sotto, si considera il coefficiente delle x, che è 1 in entrambi i casi.
quindi ho pensato di scrivere $ e^(1/1) $ ossia e.
Tuttavia questo procedimento non mi ha convinto, potreste darmi una mano a capire? Grazie.
Spero di essermi spiegato decentemente.
Nello studio di analisi mi sono trovato alle prese con questo limite: Lim x-->+∞ $ e^(x/(x-1)) $
ovviamente siamo nella situazione di $ e^((+∞)/(+∞)) $ e qui mi sono trovato in difficoltà...ho pensato di applicare il metodo utilizzato nelle funzioni fratte, ossia quello di confrontare l'ordine di infinito tra Numeratore e denominatore, e avendo x sia sopra che sotto, si considera il coefficiente delle x, che è 1 in entrambi i casi.
quindi ho pensato di scrivere $ e^(1/1) $ ossia e.
Tuttavia questo procedimento non mi ha convinto, potreste darmi una mano a capire? Grazie.
Spero di essermi spiegato decentemente.
Risposte
Ciao!
\[
e^{\frac{x}{x-1}}=e^{\frac{x-1+1}{x-1}}=e^{1+\frac{1}{x-1}}=ee^{\frac{1}{x-1}}\to e
\]
dato che
\[
e^{\frac{1}{x-1}}\to 1
\]
per $x\to +\infty$.
\[
e^{\frac{x}{x-1}}=e^{\frac{x-1+1}{x-1}}=e^{1+\frac{1}{x-1}}=ee^{\frac{1}{x-1}}\to e
\]
dato che
\[
e^{\frac{1}{x-1}}\to 1
\]
per $x\to +\infty$.
quindi mi confermi che il limite tende ad "e"
Ti confermo che $e^{\frac{x}{x-1}}$ tende a $e$ per $x\to+\infty$, e di conseguenza il limite È $e$. 
Il limite dell'esponente $lim_(x->infty)x/(x×(1-1/x))$ $=lim_(x->infty)1/(1-1/x)=1 $ essendo per $x->infty $ $-1/x~0$ , cioe trascurabile; sostituendo avremo $lim_(x->infty )e^(x/(x-1))=e^1=e $
Grazie per le risposte ragazzi, anche se ognuno ha il proprio metodo di risoluzione, il risultato finale è sempre lo stesso, ossia "e".
Questo mi interessava.
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