Limite e dubbio
\(\displaystyle \forall\epsilon>0,\ \exists n_\epsilon\in \mathbb{N}:\ n> n_\epsilon \Rightarrow |a_n-l |<\epsilon \)
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} =0\ \)
trovo
\(\displaystyle n>\frac{1}{\epsilon} \)
e fin qui ci sono
ma non capisco perchè il prof e l'esercitatore hanno stabilito che
\(\displaystyle
n_\epsilon=\frac{1}{\epsilon}+1 \)
cioè se io cerco il primo valore che verifichi la diseguaglianza \(\displaystyle n>\frac{1}{\epsilon} \)
ho \(\displaystyle n=\frac{1}{\epsilon}+1 \) che però coincide con \(\displaystyle n_\epsilon=\frac{1}{\epsilon}+1 \) che è in contraddizione con la premessa \(\displaystyle n>n_\epsilon \)
non dovrebbe essere \(\displaystyle n_\epsilon=\frac{1}{\epsilon} \)??
\(\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} =0\ \)
trovo
\(\displaystyle n>\frac{1}{\epsilon} \)
e fin qui ci sono
ma non capisco perchè il prof e l'esercitatore hanno stabilito che
\(\displaystyle
n_\epsilon=\frac{1}{\epsilon}+1 \)
cioè se io cerco il primo valore che verifichi la diseguaglianza \(\displaystyle n>\frac{1}{\epsilon} \)
ho \(\displaystyle n=\frac{1}{\epsilon}+1 \) che però coincide con \(\displaystyle n_\epsilon=\frac{1}{\epsilon}+1 \) che è in contraddizione con la premessa \(\displaystyle n>n_\epsilon \)
non dovrebbe essere \(\displaystyle n_\epsilon=\frac{1}{\epsilon} \)??
Risposte
Innanzitutto, la variabile di limite la devi chiamare \(n\), altrimenti non ti trovi con i conti scritti dopo. 
Ammesso che tu voglia dimostrare che \(\lim_n \frac{1}{n}=0\) con la definizione, devi risolvere in \(\mathbb{N}\) la disequazione \(\frac{1}{n}<\varepsilon\), in cui \(\varepsilon\) è un parametro \(>0\) (che puoi considerare "fissato").
Hai:
\[
\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad n>\frac{1}{\varepsilon}
\]
sicché le tue soluzioni sono tutti i numeri naturali che superano \(1/\varepsilon\). Tali numeri costituiscono un sottoinsieme di \(\mathbb{N}\) che è dotato di minimo (per il Principio del Buon Ordinamento) e tale minimo è \(\left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]+1\), in cui \([\cdot]\) denota la parte intera; quindi la disuguaglianza è verificata senz'altro per tutti e soli gli indici \(n\geq \left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]+1\) ed, in forza di ciò, puoi effettivamente prendere \(n_\varepsilon = \left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]\).
Tuttavia, nota che non è importante scegliere \(n_\varepsilon\) in maniera "ottimale" per verificare la definizione di limite, perché, in quasi tutti i casi, i conti per determinare \(n_\varepsilon\) non possono essere fatti esplicitamente e ci si deve accontentare quasi sempre di valori dell'indice soglia \(n_\varepsilon\) più grandi del valore "ottimale".
Quindi, nel tuo caso, prendere \(n_\varepsilon = \left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]\) o \(n_\varepsilon = \left[ \frac{1}{\varepsilon}\right] +1\) è del tutto equivalente ai fini pratici.
Ammesso che tu voglia dimostrare che \(\lim_n \frac{1}{n}=0\) con la definizione, devi risolvere in \(\mathbb{N}\) la disequazione \(\frac{1}{n}<\varepsilon\), in cui \(\varepsilon\) è un parametro \(>0\) (che puoi considerare "fissato").
Hai:
\[
\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \Leftrightarrow\quad n>\frac{1}{\varepsilon}
\]
sicché le tue soluzioni sono tutti i numeri naturali che superano \(1/\varepsilon\). Tali numeri costituiscono un sottoinsieme di \(\mathbb{N}\) che è dotato di minimo (per il Principio del Buon Ordinamento) e tale minimo è \(\left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]+1\), in cui \([\cdot]\) denota la parte intera; quindi la disuguaglianza è verificata senz'altro per tutti e soli gli indici \(n\geq \left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]+1\) ed, in forza di ciò, puoi effettivamente prendere \(n_\varepsilon = \left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]\).
Tuttavia, nota che non è importante scegliere \(n_\varepsilon\) in maniera "ottimale" per verificare la definizione di limite, perché, in quasi tutti i casi, i conti per determinare \(n_\varepsilon\) non possono essere fatti esplicitamente e ci si deve accontentare quasi sempre di valori dell'indice soglia \(n_\varepsilon\) più grandi del valore "ottimale".
Quindi, nel tuo caso, prendere \(n_\varepsilon = \left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]\) o \(n_\varepsilon = \left[ \frac{1}{\varepsilon}\right] +1\) è del tutto equivalente ai fini pratici.
ottima spiegazione, grazie. Spero anch'io un giorno di riuscire a dare un contributo a questo forum
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