Limite e domande collegate...

[Dario110]

Salve a tutti,
ho una questione sulla quale spero possiate illuminarmi...
debbo verificare il limite:


lim (x -> 1) (2x^4 -6x^3 +x^2 +3)/(x-1) = -8


dopo alcuni semplici (che posterò se richiesti) passaggi ottengo:

| (x-1)(2x^2 -2x -5) | < epsilon (a)


il mio problema è ora dimostrare che esiste un delta...ecc.ecc.

Mi ci sono scervellato sopra, non ho trovato nulla e ho deciso di invertire il ragionamento. Chiedo appunto se il mio ragionamento è
valido.

Posto che la disuguaglianza (a) deve valere in un intorno di 1 e ciò è come dire che 0<|x-1| 0 < x < 2 (ed ovviamente x diverso da 1).

Quindi uso questo valore in questo modo: (2x^2 -2x -5)(x-1) < (2x^2 -2x -5) delta < ( |2x^2| + |2x| + 5 ) delta <
< ( 8 + 4 + 5 ) delta = 17 delta < epsilon.

Posso quindi dire che è 1-epsilon/17
Attendo lumi ... grazie
Dario

[pavonis1]

Mi sembra abbastanza evidente che andando tutte le x a zero rimane
3/(-1) = -3!

[Dario110]

Scusa Fabio... ma il limite è per x che tende a 1 ... (ehm ehm l'ho corretto dopo che me ne sono accorto...). Il problema è che in ogni caso volevo trovare l'intorno di 1 per cui vale la disuguaglianza. Il calcolo del limite in se non è banale. Più difficile è secondo me provare rigorosamente la cosa.
Non credi ?
Ciao e grazie
Dario

[Sk_Anonymous]

Allora, il calcolo del limite e' banale, in quanto dividi in partenza 2x^4-6x^3+x^2+3 per x-1, e trovi 2x^3-4x^2-3x-3, che tende a -8 per x che tende ad 1.
E' abbastanza semplice anche verificare mediante la definizione che il limite dato e' effettivamente -8. Infatti, torna molto utile la scomposizione che hai fatto: 2x^3-4x^2-3x+5=(x-1)(2x^2-2x-5). A questo punto (x-1) e' piccolo quanto vuoi in un intorno di x=1 (questo e' ovvio), mentre invece 2x^2-2x-5 si mantiene limitata in un intorno di x=1, quindi trovi facilmente un delta...

Ciao, Luca.