LIMITE E DERIVATA...
Ciao a tutti,
sono alle prese con questo limite...
lim n->inf. di
[(3n-5)/(3n-7)]^2n-1
allora vedo che e' nella forma inf su inf.
vorrei applicare il teorema di de l'hopital...
Pero' senza che per piacere mi svolgete l'esercizio...
avrei bisogno di sapere qual'e' la derivata di quello che ho scritto sopra....
come si fa a derivare ?
Grazie mille
sono alle prese con questo limite...
lim n->inf. di
[(3n-5)/(3n-7)]^2n-1
allora vedo che e' nella forma inf su inf.
vorrei applicare il teorema di de l'hopital...
Pero' senza che per piacere mi svolgete l'esercizio...
avrei bisogno di sapere qual'e' la derivata di quello che ho scritto sopra....
come si fa a derivare ?
Grazie mille
Risposte
Per applicare De L'Hopital devi trasformare la funzione nella forma indeterminata 0/0. Passando ai logaritmi si ha:
(2n - 1)*ln[(3n - 5)/(3n - 7)]
Essa si può scrivere anche:
ln[(3n - 5)/(3n - 7)]/[1/(2n - 1)]
che è una forma indeterminata del tipo 0/0.
Ora si devono derivare le due funzioni al numeratore e al denominatore.
La derivata del numeratore è:
- 6/[(3n - 7)(3n - 5)]
La derivata del denominatore è:
- 2/(2n - 1)^2
Il limite per x --> inf del loro rapporto è 4/3 per cui il limite diventa e^(4/3).
(2n - 1)*ln[(3n - 5)/(3n - 7)]
Essa si può scrivere anche:
ln[(3n - 5)/(3n - 7)]/[1/(2n - 1)]
che è una forma indeterminata del tipo 0/0.
Ora si devono derivare le due funzioni al numeratore e al denominatore.
La derivata del numeratore è:
- 6/[(3n - 7)(3n - 5)]
La derivata del denominatore è:
- 2/(2n - 1)^2
Il limite per x --> inf del loro rapporto è 4/3 per cui il limite diventa e^(4/3).
Un altro modo di risolvere questi casi senza L'hopital, è di ricondursi con semplici passaggi algebrici al limite fondamentale :
(1 + 1/n)^n --> e
Bye.
(1 + 1/n)^n --> e
Bye.
mi trovo in disaccordo con Mamo: de l'hopital si può utilizzare anche per le forme indeterminate inf/inf; l'unica cosa è che hai, suppongo dal nome della variabile, una successione, quindi non puoi derivare; devi quindi considerare la funzione f(x) t.c. comunque preso n risulta f(n)=a(n), essendo a(n) la tua successione. insomma, ho detto in modo complicato che ti devi prendere la funzione
[(3x-5)/(3x-7)]^(2x-1)
e puoi utilizzare tranquillamente de l'hopital; il limite che trovi è anche quello della successione, in quanto c'è un teorema che garantisce che se una funzione converge, allora una qualunque successione di suoi punti converge allo stesso limite.
ciao, ubermensch
[(3x-5)/(3x-7)]^(2x-1)
e puoi utilizzare tranquillamente de l'hopital; il limite che trovi è anche quello della successione, in quanto c'è un teorema che garantisce che se una funzione converge, allora una qualunque successione di suoi punti converge allo stesso limite.
ciao, ubermensch
Ubermensch, la funzione proposta non è nella forma indeterminata inf/inf ma 1^inf.
Infatti essa si può scrivere come:
[1 + 2/(3n - 7)]^(2n - 1)
Perciò non si può applicare direttamente De L'Hopital.
Infatti essa si può scrivere come:
[1 + 2/(3n - 7)]^(2n - 1)
Perciò non si può applicare direttamente De L'Hopital.
citazione:
allora vedo che e' nella forma inf su inf.
hai ragione, pardon, mi sono lasciato ingannare da quella affermazione, di cui non ho controllato la giustezza.
ma la derivata di
[(3n-5)/(3n-7)]^2n-1
qual'e'???
come si fa con una frazione con n a numeratore -denominatore e esponente?
Esiste una regola?
[(3n-5)/(3n-7)]^2n-1
qual'e'???
come si fa con una frazione con n a numeratore -denominatore e esponente?
Esiste una regola?
Prima di derivare una funzione composta del tipo :
y = f^g
la devi trasformare nella funzione :
y = e^(g*lnf)
e poi derivare.
Bye.
ps. fare la derivata di tutta la funzione non ti serve però per risolvere il limite
y = f^g
la devi trasformare nella funzione :
y = e^(g*lnf)
e poi derivare.
Bye.
ps. fare la derivata di tutta la funzione non ti serve però per risolvere il limite
grazieeeee
ok quindi trasformo in
e ^(2n-1)ln (3n-5/3n-7)
ok a questo punto la regola per derivare un e^ a qualcosa qual'e'???
e ^(2n-1)ln (3n-5/3n-7)
ok a questo punto la regola per derivare un e^ a qualcosa qual'e'???
La derivata di :
e^f
è
f'*e^f
dove f' è la derivata di f .
Bye.
ps. quasta è una delle derivate più ... belle. Però bisognerebbe conoscere la regola generale per fare la derivata delle funzioni composte, così uno la applica a tutti i casi ...
e^f
è
f'*e^f
dove f' è la derivata di f .
Bye.
ps. quasta è una delle derivate più ... belle. Però bisognerebbe conoscere la regola generale per fare la derivata delle funzioni composte, così uno la applica a tutti i casi ...
boh , sono troppo negata in questa materia...
ma se parto da e^f
e mi ritrovo
f' * e^f
ho una derivata che mi moltiplica di nuovo quello che avevo prima...
non riesco a capire ...quindi ho di nuovo lo stesso problema....
aiutatemi...
sto limite sta diventando un circolo vizioso!
ma se parto da e^f
e mi ritrovo
f' * e^f
ho una derivata che mi moltiplica di nuovo quello che avevo prima...
non riesco a capire ...quindi ho di nuovo lo stesso problema....
aiutatemi...
sto limite sta diventando un circolo vizioso!
La deivata di e^f è proprio f'*e^f !!!
Ribadisco anche che fare la derivata di tutta la funzione non ti serve per calcolare il limite della successione !!! Per quello abbiamo usato L'hopital che è tutto un altro paio di maniche.
Scusa, dolcestella, se mi permetto. Ma la matematica non si affronta così !!! In questo modo fai solo della confusione. Ci vuole, invece, una visione d'insieme ed occorre studiare gli argomenti "in fila", non random.
Ora, una volta capito cos'è la derivata di una funzione e come si calcolano le derivate delle funzioni più "semplici", si impara come si calcola la derivata di una funzione composta (detta anche funzione di funzione).
Il caso di e^f è appunto uno di questi, assieme ad infiniti altri !!!!!
Non puoi imparare una formula per ogni tipo di funzione di funzione !!!! Basta imparare una unica formula ed applicarla a tutti i casi.
La formula è :
D(f(g(x)) = df/dg * dg/dx
dove D indica la derivata della funzione composta, df/dg indica la derivata di f rispetto a g e dg/dx indica la derivata di g rispetto ad x.
Bye.
Ribadisco anche che fare la derivata di tutta la funzione non ti serve per calcolare il limite della successione !!! Per quello abbiamo usato L'hopital che è tutto un altro paio di maniche.
Scusa, dolcestella, se mi permetto. Ma la matematica non si affronta così !!! In questo modo fai solo della confusione. Ci vuole, invece, una visione d'insieme ed occorre studiare gli argomenti "in fila", non random.
Ora, una volta capito cos'è la derivata di una funzione e come si calcolano le derivate delle funzioni più "semplici", si impara come si calcola la derivata di una funzione composta (detta anche funzione di funzione).
Il caso di e^f è appunto uno di questi, assieme ad infiniti altri !!!!!
Non puoi imparare una formula per ogni tipo di funzione di funzione !!!! Basta imparare una unica formula ed applicarla a tutti i casi.
La formula è :
D(f(g(x)) = df/dg * dg/dx
dove D indica la derivata della funzione composta, df/dg indica la derivata di f rispetto a g e dg/dx indica la derivata di g rispetto ad x.
Bye.
Si può anche fare così ricordando che :
lim per x che tende a +00 di : ( 1+1/x)^x vale : e mentre lim per x che tende a +00 di
1+2/x)^x vale : e^2.
Rioscrivo così la formula iniziale :
((3n-5-2+2)/(3n-7))^(2n-1) = (1+2/(3n-7))^(2n-1).
trasformo l'esponente in : (3n-7)*((2n-1)/(3n-7)) e quindi ottengo il limite in questa forma :
(1+2/(3n-7)^[(3n-7)*(2n-1)/(3n-7)].
Quindi essendo il limite di : (2n-1)/(3n-7) = 2/3 ed avendosi che il limite di : (1+2/(3n-7))^(3n-7) = e ^ 2 in complesso si ha che il limite cercato vale :
(e^2)^(2/3) = e ^ 4/3.
ok ?
lim per x che tende a +00 di : ( 1+1/x)^x vale : e mentre lim per x che tende a +00 di
1+2/x)^x vale : e^2.Rioscrivo così la formula iniziale :
((3n-5-2+2)/(3n-7))^(2n-1) = (1+2/(3n-7))^(2n-1).
trasformo l'esponente in : (3n-7)*((2n-1)/(3n-7)) e quindi ottengo il limite in questa forma :
(1+2/(3n-7)^[(3n-7)*(2n-1)/(3n-7)].
Quindi essendo il limite di : (2n-1)/(3n-7) = 2/3 ed avendosi che il limite di : (1+2/(3n-7))^(3n-7) = e ^ 2 in complesso si ha che il limite cercato vale :
(e^2)^(2/3) = e ^ 4/3.
ok ?
Cercherò di non complicare ulteriormente la cosa.
Consideriamo la funzione esponenziale a base variabile y = f^g.
Come detto da Arriama essa si può scrivere anche:
y = e^[g*ln(f)]
Derivando entrambi i membri si ottiene:
y' = [g'*ln(f) + g*f'/f]*e^[g*ln(f)]
cioè:
y' = [g'*ln(f) + g*f'/f]*f^g.
Questa è la formula generale di derivazione di una funzione esponenziale a base variabile.
Consideriamo la funzione esponenziale a base variabile y = f^g.
Come detto da Arriama essa si può scrivere anche:
y = e^[g*ln(f)]
Derivando entrambi i membri si ottiene:
y' = [g'*ln(f) + g*f'/f]*e^[g*ln(f)]
cioè:
y' = [g'*ln(f) + g*f'/f]*f^g.
Questa è la formula generale di derivazione di una funzione esponenziale a base variabile.
mi permetto di ribadire la necessità puramente formale di cambiare la variabile in x; anche perchè, data l'inesperienza di dolcestella, va a finire che calcola il limite su n, naturale, a valori finiti!!
senza parlare del fatto di derivare una successione... brrr che paura!
senza parlare del fatto di derivare una successione... brrr che paura!
In effetti derivare una successione, definita solo per valori interi della variabile, sarebbe inaccettabile.
Modificato da - camillo il 25/03/2004 18:52:03
Modificato da - camillo il 25/03/2004 18:52:03
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