Limite e asintoticità

[xDkettyxD]

Ciaoa tutti volevo porvi due domande una riguardo ad un esercizio ed un altra riguardo agli estremi superiori e inferiori di un insieme.
1) l'esercizio è lim (e^x-1+log(1-x))/(tanx-x) (di x tendente a 0) a me esce 1/0 perciò +INF ma non capisco perchè.. il risultato sarebbe -1/2
Scusate forse riuscite a sistemare il testo, sono nuova e non sono ancora pratica.

2) voi come risolvete di solite quel tipo di esercizi in cui si richiede di trovare gli estremi superiori e inferiori? Andate a tentativi e cercate di capire qual è l'andamento della funzione? Io non so mai come comportarmi per trovarli..

[Dany_951]

1) Probabilmente ti viene sbagliato perchè al denominatore fai:

$tanx-x=tanx/x *x-x=x-x=0$

ma questo passaggio (con i limiti notevoli) fa perdere di significato il denominatore.
Usando gli sviluppi di Taylor, fino al terzo ordine, ottieni qualcosa di più significativo:

Per $x->0$
$ tanx-x=x+(x^3)/3+o(x^3)-x=(x^3)/3+o(x^3)$

Lo sviluppo al terzo ordine lo scegli per ottenere "qualcosa" al denominatore.
Sviluppando tutto al terzo ordine ottieni quindi:

$lim_(x->0) (e^x-1+log(1-x))/(tanx-x) =lim_(x->0) (x+(x^2)/2+(x^3)/6+o(x^3)-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3))/((x^3)/3+o(x^3))$

$=lim_(x->0)(-(x^3)/6+o(x^3))/(x^3/3+o(x^3))=-1/2$

Spero sia chiaro

[xDkettyxD]

Sii chiarissimo! Io l'avevo fatto per conto mio taylor mentre qui con la prof non ci siamo ancora arrivati, ora si spiega tutto!! Grazie mille!
Invece per quanto riguarda l'altra mia domanda?

[Dany_951]

2) La cosa migliore è usare le derivate per trovare i punti stazionari, cioè dove la derivata è 0 (possibili massimi e minimi), studiare il limite della funzione agli estremi del dominio e nei punti di non derivabilità.

Ti faccio un esempio con una funzione ben nota:

$f(x)=x^2$

$Domf = (-oo,+oo)$


a) Provo a studiare la derivata:

$D(x^2)=2x$

E quando la derivata è zero?

$2x=0 hArr x=0$

La funzione in x=0 assume il valore $f(x)=0$.
E così abbiamo trovato un valore interessante che confronteremo con i successivi...

b)Ora vediamo gli estremi del dominio, cioè $+oo$ e $-oo$, come si comporta la funzione? Per entrambi vale che $f(x)->+oo$. Abbiamo trovato così il sup, perchè non ho numeri maggiori di $+oo$ per definizione.


3)La funzione non presenta punti di non derivabilità nel suo dominio (una funzione che presenta questo problema è |x|, non derivabile in x=0)



Pertanto abbiamo trovato tutti i punti "interessanti" della funzione, cioè $0$ e $+oo$ che, confrontandoli, il più piccolo, cioè lo $0$, è l'inf (coincidente con il min) e il più grande, cioè $+oo$, è il sup (in questo caso non esiste il max).




Ho scritto tanto per farti capire bene, ma con un po di pratica diventano passaggi immediati ..........SEMPRE CHE LA PROF ABBIA FATTO LE DERIVATE

[xDkettyxD]

Infatti io ho sempre usato le derivate ma qui in università lei ci chiede anche di trovare estremi superiori e inferiori per gli insiemi, ad esempio. quindi il mio dubbio era piu su quello però grazie mille della spiegazione è sempre utile e poi sei stato chiaro