Limite e asintotici
$ lim_(x ->0) (x/(1-x)-x-x^2)/((sqrt(1+x^2)-1)log(1-x/2) $
voi vedete qualche asintotico o qualcosa per semplificare???
se fosse stato $ log (1+ k) $ sarebbe stato asintotico a k ma qui ho il meno....voi cosa dite..non resta che fare l'hopital??
voi vedete qualche asintotico o qualcosa per semplificare???
se fosse stato $ log (1+ k) $ sarebbe stato asintotico a k ma qui ho il meno....voi cosa dite..non resta che fare l'hopital??
Risposte
Beh, basta porre $K= -x/2$. In questo modo scopri che
$log(1-x/2)= log(1+ (-x/2))$ è asintotico a $-x/2$ quando $x->0$
Che mi sai dire di $\sqrt(1+x^2)-1$ per $x->0$?
$log(1-x/2)= log(1+ (-x/2))$ è asintotico a $-x/2$ quando $x->0$
Che mi sai dire di $\sqrt(1+x^2)-1$ per $x->0$?
cavoli hai ragione...
con -1 non penso pero' si possa fare la stessa cosa...o sbaglio??
con -1 non penso pero' si possa fare la stessa cosa...o sbaglio??
Il numeratore è problematico.
Infatti:
$lim_(x -> 0) 1/(1 + x) = 1$
Scrivendo fuori dal limite:
$1/(1 + x) = 1 + o(1)$
$x/(1 + x) = x + o(x)$
$x/(1 - x) = - x + o(x)$
Percui, sostituendo, si scopre che il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $x$. Questa informazione è inutile, dal momento che il denominatore non è dell'ordine di $x$ ma dell'ordine, se non sbaglio, di $x^2$.
Credo sia necessario l'utilizzo di McLaurin, poiché lo sviluppo troncato al prim'ordine non è sufficiente per concludere.
Infatti:
$lim_(x -> 0) 1/(1 + x) = 1$
Scrivendo fuori dal limite:
$1/(1 + x) = 1 + o(1)$
$x/(1 + x) = x + o(x)$
$x/(1 - x) = - x + o(x)$
Percui, sostituendo, si scopre che il numeratore è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad $x$. Questa informazione è inutile, dal momento che il denominatore non è dell'ordine di $x$ ma dell'ordine, se non sbaglio, di $x^2$.
Credo sia necessario l'utilizzo di McLaurin, poiché lo sviluppo troncato al prim'ordine non è sufficiente per concludere.
Beh, non credo sia necessario ricorrere a McLaurin, è sufficiente ricorrere al principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti.
Abbiamo già scoperto che
[tex]\displaystyle \log\left(1-\frac{x}{2}\right)\sim -\frac{x}{2}\quad\text{per}\quad x\to 0[/tex].
Inoltre:
[tex]\displaystyle \sqrt{1+x^2}-1\sim \frac{x^2}{2}\quad\text{per}\quad x\to 0[/tex] (basta ricordare il limite notevole: [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x} = \alpha[/tex]).
Il numeratore è asintoticamente equivalente a [tex]x^3[/tex] di conseguenza:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x}{1-x}-x-x^2}{(\sqrt{1+x^2}-1) (\log(1-\frac{x}{2})) } = \lim_{x\to 0}\frac{x^3}{(\frac{x^2}{2})(-\frac{x}{2})}=-4[/tex]
Abbiamo già scoperto che
[tex]\displaystyle \log\left(1-\frac{x}{2}\right)\sim -\frac{x}{2}\quad\text{per}\quad x\to 0[/tex].
Inoltre:
[tex]\displaystyle \sqrt{1+x^2}-1\sim \frac{x^2}{2}\quad\text{per}\quad x\to 0[/tex] (basta ricordare il limite notevole: [tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^\alpha-1}{x} = \alpha[/tex]).
Il numeratore è asintoticamente equivalente a [tex]x^3[/tex] di conseguenza:
[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x}{1-x}-x-x^2}{(\sqrt{1+x^2}-1) (\log(1-\frac{x}{2})) } = \lim_{x\to 0}\frac{x^3}{(\frac{x^2}{2})(-\frac{x}{2})}=-4[/tex]
io per il numeratore ho fatto il m.c.m e ho fatto le moltiplicazioni..comunque il mio risultato finale è uguale al tuo 
grazie
grazie
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