Limite due variabili

[Marcomix1]

Data funzione $(x^2+y^2)log(x^2+y^2)$ prolungata in $(0,0)$ ponendo $f(0,0)=0$, in tale punto. Definire se continua.

Inanzi tutto non capisco che vuol dire 'prolungata' e cosa comporta nello svolgimento d'esercizio.
Poi io avrei fatto cosi: trasformo in coordinate polari. $x=pcosomega, y=psenomega$
Quello che ottengo è $p^2log(p^2) = p^(2)2log(p)= 2log(p)/(1/p^2)$ per $p->0$ ma non ne vengo a capo. Cioè $log0$ non esiste.

[gio73]

"Marcomix":Data funzione $x^2+y^2log(x^2+y^2)$ prolungata in $(0,0)$ ponendo $f(0,0)=0$, in tale punto. Definire se continua.

Inanzi tutto non capisco che vuol dire 'prolungata' e cosa comporta nello svolgimento d'esercizio.
Poi io avrei fatto cosi: trasformo in coordinate polari. $x=pcosomega, y=psenomega$
Quello che ottengo è $p^2log(p^2) = p^(2)2log(p)= 2log(p)/(1/p^2)$ per $p->0$ ma non ne vengo a capo. Cioè $log0$ non esiste.

Ciao Marco, forse hai dimenticato un paio di parentesi:
$(x^2+y^2)log(x^2+y^2)$Ora io sono ignorante e quindi le mie considerazioni possono essere sbagliatissime, riflettici bene.
Allora a me piace immaginare la forma che ha il grafico delle funzioni, e nel tuo caso mi sembra di poter riconoscere una certa simmetria circolare, allora vedo che all'esterno della circonferenza $x^2+y^2=1$ la nostra funzione è positiva e allontanandosi dall'origne aumenta sempre di più.
Lungo la circonferenza invece vale 0, internamente invece è negativa, perchè il primo fattore è positivo mentre il secondo, il logaritmo di un numero minore di 1, negativo. Ora noi ci domandiamo cosa succede se ci avviciniamo sempre di più all'origine che cosa succede, siamo d'accordo che il logaritmo di 0 non esiste e proprio per questo usiamo i limiti.
ci viene fuori una forma indeterminata perchè il primo fattore diventa sempre più piccolo, ma sempre positivo, mentre il secondo tende a $-oo$.

[Sk_Anonymous]

"Marcomix":Data funzione $x^2+y^2log(x^2+y^2)$ prolungata in $(0,0)$ ponendo $f(0,0)=0$, in tale punto. Definire se continua.

Inanzi tutto non capisco che vuol dire 'prolungata' e cosa comporta nello svolgimento d'esercizio.
Poi io avrei fatto cosi: trasformo in coordinate polari. $x=pcosomega, y=psenomega$
Quello che ottengo è $p^2log(p^2) = p^(2)2log(p)= 2log(p)/(1/p^2)$ per $p->0$ ma non ne vengo a capo. Cioè $log0$ non esiste.

Prolungare la funzione significa scrivere un'altra funzione così definita (immagino che la tua funzione sia \(f(x,y) =
(x^2+y^2)\log(x^2+y^2)\), ma se così non fosse il ragionamento va bene lo stesso)
\[
\hat{f}(x,y) =
\begin{cases}
(x^2+y^2)\log(x^2+y^2) & \text{se} (x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{se} (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
Affinché sia continua in \((0,0)\) (negli altri punti lo è, in quanto prodotto e composizione di funzioni continue) deve essere
\[
\lim_{(x,y= \to (0,0)} (x^2+y^2)\log(x^2+y^2) = 0
\]
Lascio a te verificare se questo accade.
Suggerimento. Si può usare il Teorema dei Carabinieri. Attenzione però, va usato in maniera corretta!

[Marcomix1]

si avevo impostato male, mi sono perso delle parentesi. Ho modificato il mio post, ora va bene. Dunque, ma se io sviluppassi la forma indeterminata con de l'Hopital? A questo punto mi viene $(2/p)/-(2/p^3)$ e quindi facendo vari calcoli ottengo $p^2$ e di conseguenza fa $0$ per $p->0$

[Sk_Anonymous]

"Marcomix":si avevo impostato male, mi sono perso delle parentesi. Ho modificato il mio post, ora va bene. Dunque, ma se io sviluppassi la forma indeterminata con de l'Hopital? A questo punto mi viene $(2/p)/-(2/p^3)$ e quindi facendo vari calcoli ottengo $p^2$ e di conseguenza fa $0$ per $p->0$

Non ho fatto i limiti col cambio in coordinate polari, ma credo possa essere corretto.
Altrimenti puoi applicare il Teorema dei Carabinieri per dimostrare che
\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} (x^2+y^2)\log(x^2+y^2) = 0.
\]
Infatti,
\[
0 \leq |(x^2+y^2)||\log(x^2+y^2)|=(x^2+y^2)|\log(x^2+y^2)| \leq (x^2+y^2)|x^2+y^2| = (x^2+y^2)^2
\]
e \((x^2+y^2)^2 \to 0 \) se \((x,y) \to (0,0)\). Dunque, dato che \(|f|\ \to 0\) per \((x,y) \to (0,0)\), anche \(f \to 0\) per \((x,y) \to (0,0)\).

[Marcomix1]

grazie per la esauriente risposta, ne terrò di conto.

[Sk_Anonymous]

"Marcomix":grazie per la esauriente risposta, ne terrò di conto.

Perdonami ma ho commesso un grosso errore. Non è vero che in un intorno di \(0\) vale
\[
|\log{x}| \leq |x|
\]
L'idea è comunque usabile nei casi in cui trovi disuguaglianze simili... Scusami davvero, ma sono fuso: domani ho l'esame di Analisi 2 e l'abitudine di trovarmi davanti a seni e coseni in condizioni tali per cui queste cose son vere mi hanno portato a non pensarci su per bene.
Si può però operare un altro cambio di variabile rispetto a quelle in polari, credo molto più semplice, cioè porre \(x^2+y^2=t\) e \(t \to 0\) se \((x,y) \to (0,0)\). Dunque il limite diventa
\[
\lim_{t \to 0} t \log{t} = 0
\]