Limite due variabili

[ValeForce]

Salve a tutti!
Avrei bisogno di un suggerimento sul seguente esercizio:

Provare che la seguente funzione è continua in $\mathbb{R}^2$
$$f(x,y)=\begin{cases} (x^3-8y^3)\,\cdot \log|x-2y| \quad per |x-2y| \neq 0 \\ 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, per |x-2y|=0 \end{cases}$$

Dovrei fare il $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} (x^3-8y^3)\cdot log|x-2y|$ con $x_0=2y_0$ e verificare se risulta $0$. Ho provato con le coordinate polari ma sembra che non possa maggiorare in alcun modo... Qualche consiglio?

[pilloeffe]

Ciao ValeForce,

"ValeForce":Qualche consiglio?

Sì: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $

[Quinzio]

Consiglio: un po' di algebra e, anche in questo caso, cambio di variabili.

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

e poi $x - 2y = x'$

$ \lim_{x' \to 0} (x^2+2xy+4y^2)(x')\cdot log|x'| $

che fa $0$ in effetti.

[ValeForce]

Già... che stupido . Grazie per le risposte!
Allora io lo farei così

$ 0<\abs((x^3-8y^3)\log|x-2y|) =\abs( (x-2y) (x^2+4y^2+2xy) \log|x-2y| )<\abs( (x-2y)^2 (x^2+4y^2+2xy) ) $

Utilizzando la disuguaglianza $log|t|<|t| \quad \forall t \in \mathbb{R}\setminus {0}$

Ma $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \abs( (x-2y)^2 (x^2+4y+2xy) )=0\cdot 12y_0^2=0$ quindi il limite iniziale fa zero!!