Limite “distanza”
Ciao a tutti, se ho un limite del tipo:
\(\lim\limits_{x^2+y^4 \to +\infty} x^2+y^2\)
come posso procedere? Intuitivamente mi è chiaro che fa \(+\infty\) ma non so come dimostrarlo. Ho provato a sommare e sottrarre \(y^4\), ma poi non so come trattare il \(-y^4+y^2\) che resta. Bisogna passare dalla definizione di limite? Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.
\(\lim\limits_{x^2+y^4 \to +\infty} x^2+y^2\)
come posso procedere? Intuitivamente mi è chiaro che fa \(+\infty\) ma non so come dimostrarlo. Ho provato a sommare e sottrarre \(y^4\), ma poi non so come trattare il \(-y^4+y^2\) che resta. Bisogna passare dalla definizione di limite? Qualcuno mi può dare un suggerimento?
Grazie.
Risposte
Intanto è meglio scrivere la definizione di quel limite "strano": immagino sia
\[
\lim_{x^2+y^4\to \infty} x^2+y^2 = +\infty\quad \iff \quad \forall M_1>0\ \exists M_2>0\ :\ x^2+y^4>M_2 \Rightarrow x^2+y^2>M_1.\]
Fissiamo \(M_1>0\). Sia \(M_2=2M_1^2\). Se \(x^2+y^4>M_2\), allora necessariamente uno dei due addendi a sinistra deve essere più grande di \(M_2/2\). Se \(y^4>M_2/2=M_1^2\) allora \(x^2+y^2>M_1\). Se è \(x^2>M_2/2\) allora \(x^2+y^2>M_1^2\). Abbiamo finito.
\[
\lim_{x^2+y^4\to \infty} x^2+y^2 = +\infty\quad \iff \quad \forall M_1>0\ \exists M_2>0\ :\ x^2+y^4>M_2 \Rightarrow x^2+y^2>M_1.\]
Fissiamo \(M_1>0\). Sia \(M_2=2M_1^2\). Se \(x^2+y^4>M_2\), allora necessariamente uno dei due addendi a sinistra deve essere più grande di \(M_2/2\). Se \(y^4>M_2/2=M_1^2\) allora \(x^2+y^2>M_1\). Se è \(x^2>M_2/2\) allora \(x^2+y^2>M_1^2\). Abbiamo finito.
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