Limite difficilotto
Mi sapreste dire come risolvere ed eventualmente indicarmi i passaggi per risolvere questo limite?
$lim_{x \to \+infty} sqrt(1+4x)*log(1-(sqrt(x+1)/(x+2)))$
Il risultato dev'essere -2!
Grazie
$lim_{x \to \+infty} sqrt(1+4x)*log(1-(sqrt(x+1)/(x+2)))$
Il risultato dev'essere -2!
Grazie
Risposte
Ciao. Personalmente sfrutterei prima il fatto che: $a cdot log b=log b^a$ e poi (con qualche artificio per modificare opportunamente l'esponente dell'argomento del logaritmo) il limite fondamentale: $lim_(z rightarrow infty)(1+1/z)^z=e$.
(Tra l'altro, il tuo limite dev'essere necessariamente per $x rightarrow +infty$)
(Tra l'altro, il tuo limite dev'essere necessariamente per $x rightarrow +infty$)
Grazie per la risposta ora provo ad applicare il tuo suggerimento e ti faccio sapere! Gentilissimo 
"Noisemaker":
è la stima asintotica del logaritmo: in generale hai che
\begin{align} \mbox{se per }\,\,\,x\to x_0 &\qquad f(x)\sim g(x)\,\,\,\mbox{e}\,\,\,f(x)\to 0^+\,\,\,\mbox{oppure}\,\,\,f(x)\to +\infty\\
&\Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim \ln g(x)\\\\
\mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
analogamente
$ if f(x)rarr 0rArr ln(f(x)+1)~ f(x), xrarr x_0. $
Verifica quindi che $ lim_(x -> oo)ln(1-(root()(x+1)/(x+2)))/ (root()(x+1)/(x+2))=-1 $ ossia
$ ln(1-(root()(x+1)/(x+2))~ -root()(x+1)/(x+2) $
Grazie Davide per la risposta! Tuttavia non riesco a capirci un granchè scusami!!! Tra l'altro ho trovato le soluzioni sul libro ed il risultato è -2!
\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+4x}\cdot \ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)&\sim \lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+4x}\cdot \left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}-1\right)\sim \lim_{x\to+\infty}-\sqrt{ 4x}\cdot \frac{\sqrt{x }}{x } \\
&=\lim_{x\to+\infty} - \frac{\sqrt{4x ^2}}{x }=-2
\end{align}
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+4x}\cdot \ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)&\sim \lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+4x}\cdot \left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}-1\right)\sim \lim_{x\to+\infty}-\sqrt{ 4x}\cdot \frac{\sqrt{x }}{x } \\
&=\lim_{x\to+\infty} - \frac{\sqrt{4x ^2}}{x }=-2
\end{align}
Grazie Noise !!!
Ascolta 1 cosa ma come mai nel secondo passaggio quando "elimini" il logaritmo aggiungi un -1 dentro la parentesi? Potresti spiegarmi quel passaggio?
E nel passaggio finale ?
Ascolta 1 cosa ma come mai nel secondo passaggio quando "elimini" il logaritmo aggiungi un -1 dentro la parentesi? Potresti spiegarmi quel passaggio?
E nel passaggio finale ?
in generale
\begin{align} \mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
\begin{align} \mbox{se }\,\,\,f(x)\to 1 &\qquad \Rightarrow \qquad \ln f(x)\sim f(x)-1,\qquad x\to x_0\end{align}
Ahhh !! Quindi siccome il logaritmo tende a 1 (1-0) possiamo scrivere che il log di quello che c'è tra parentesi è uguale a quello che c'è tra parentesi -1!!! Fantastico!!!
E in qualsiasi caso posso applicare questo principio?
Grazie 1000
E in qualsiasi caso posso applicare questo principio?
Grazie 1000
attenzione! 
il logaritmo non tente a $1$ ma a $0$ è l'argomento che tende a $1$, cioè $$ 1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\to 1$$ e quindi il logaritmo l'approssimi in quel modo:
\[ \ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)\sim \left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}-1\right)\]
il logaritmo non tente a $1$ ma a $0$ è l'argomento che tende a $1$, cioè $$ 1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\to 1$$ e quindi il logaritmo l'approssimi in quel modo:
\[ \ln\left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right)\sim \left(1-\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}-1\right)\]
Sinceramente per usare approssimazioni tanto enormi mi sembra più normale usare le approssimazioni:
\(\sqrt{1 + 4x} = 2\sqrt{x + \frac{1}{4}} \sim 2\sqrt{x}\)
\(\sqrt{x+1} \sim \sqrt{x}\)
e
\(x + 2 \sim \sqrt{x}^2\)
Ovviamente per \(x\to \infty\). A questo punto hai che:
\begin{align} \lim_{x\to \infty} \sqrt{1-4x}\ln\left(1 - \frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right) &\sim \ln \lim_{x\to \infty} \left(1 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}^2}\right)^{2\sqrt{x}} \\
&\sim \ln \lim_{x\to \infty} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2\sqrt{x}}
\end{align}
Che è un limite immediato.
\(\sqrt{1 + 4x} = 2\sqrt{x + \frac{1}{4}} \sim 2\sqrt{x}\)
\(\sqrt{x+1} \sim \sqrt{x}\)
e
\(x + 2 \sim \sqrt{x}^2\)
Ovviamente per \(x\to \infty\). A questo punto hai che:
\begin{align} \lim_{x\to \infty} \sqrt{1-4x}\ln\left(1 - \frac{\sqrt{x+1}}{x+2}\right) &\sim \ln \lim_{x\to \infty} \left(1 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}^2}\right)^{2\sqrt{x}} \\
&\sim \ln \lim_{x\to \infty} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2\sqrt{x}}
\end{align}
Che è un limite immediato.
Grazie a tutti 
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