Limite difficile
limite per x che tende a 0 di 
(((1+x)^(1/x))*sqrt(x+1))- e)/(x^2)
Ho provato a calcolare questo limite , ma ho molti dubbi sul risultato che ho ottenuto : infinito.
Chi vuole provare a cimentarsi ?
Grazie
Camillo
(((1+x)^(1/x))*sqrt(x+1))- e)/(x^2) Ho provato a calcolare questo limite , ma ho molti dubbi sul risultato che ho ottenuto : infinito.
Chi vuole provare a cimentarsi ?
Grazie
Camillo
Risposte
(1+x)^(1/x) --> e
sqrt(1+x) --> 1+x/2
sostituendo rimane
e/2x che va a infinito
sqrt(1+x) --> 1+x/2
sostituendo rimane
e/2x che va a infinito
c'è da dire che facendo un grafico della funzione e ingrandendo via via la zona delle x piccole si osserva un coomportamento oscillatorio (divergente)
Modificato da - goblyn il 05/09/2003 22:27:52
Grazie goblyn : abbiamo seguito lo stesso procedimento ed abbiamo avuto lo stesso risultato.
Quello che mi preoccupava era l'andamento divergente ed oscillante nell'intorno di 0.
ciao
Camillo
Quello che mi preoccupava era l'andamento divergente ed oscillante nell'intorno di 0.
ciao
Camillo
Certo che è un po' strano... a noi viene +infinito... Vorrebbe dire che a un certo punto le oscillazioni smettono e la funzione sale a +infinito... strano... molto strano...
dobbiamo approfondire e vedere il limite per x che tende a0- e a 0+.
ciao
Camillo
ciao
Camillo
ok ora esco e ti lascio il compito... ne riparliamo!!!
ciao
ciao
Il limite si riduce a:
e/(2*x)
allora per x che tende a 0+ si ha : +00
per x che tende a 0- si ha : -00
quindi il limite per x che tende a 0 non esiste.
sei d'accordo?
ciao
Camillo
e/(2*x)
allora per x che tende a 0+ si ha : +00
per x che tende a 0- si ha : -00
quindi il limite per x che tende a 0 non esiste.
sei d'accordo?
ciao
Camillo
sì d'accordo... ma il problema rimane... Ho l'impressione che ci sia qualche punto debole nella nostra derivazione dell'espressione finale e/(2x)... Quelle oscillazioni fanno pensare che non esistano nemmeno i limiti per x --> 0+ e 0- ... Sembra che la funzione continui ad oscillare tra + e -inf. Bisogna approfondire meglio!
C'è infatti qualcosa che non torna : se il grafico di goblyn è corretto
( è fatto con derive?),allora non è vero che si può approssimare il
limite ( la funzione nell'intorno di x= 0 ) con : e/2x .
Infatti questa funzione ha un andamento "tranquillo" nell'intorno di
x=0 : è un'iperbole e non è certo oscillante.
Chi ne sa di più si faccia sotto !
Camillo
( è fatto con derive?),allora non è vero che si può approssimare il
limite ( la funzione nell'intorno di x= 0 ) con : e/2x .
Infatti questa funzione ha un andamento "tranquillo" nell'intorno di
x=0 : è un'iperbole e non è certo oscillante.
Chi ne sa di più si faccia sotto !
Camillo
Ho rifatto il grafico... La linea rossa è e/(2x)... magari intorno a 0 le due curve hanno lo stesso andamento...
l'ho fatto con Matlab
l'ho fatto con Matlab
A me il limite viene e/12.
Sviluppando in serie le due funzioni poste al numeratore, trascurando gli infinitesimi di ordine maggiore di 2, si ottiene:
(1 + x)^(1/x) = e(1 - x/2 + 11x^2/24...)
sqrt(1 + x) = 1 + x/2 - x^2/8...
Lo sviluppo del loro prodotto diventa perciò e(1 + x^2/12...).
Il limite diventa:
(e(1 + x^2/12...) - e)/x^2 = e/12.
Sviluppando in serie le due funzioni poste al numeratore, trascurando gli infinitesimi di ordine maggiore di 2, si ottiene:
(1 + x)^(1/x) = e(1 - x/2 + 11x^2/24...)
sqrt(1 + x) = 1 + x/2 - x^2/8...
Lo sviluppo del loro prodotto diventa perciò e(1 + x^2/12...).
Il limite diventa:
(e(1 + x^2/12...) - e)/x^2 = e/12.
Ciao Mamo.
Non puoi sviluppare (1+x)^(1/x) in serie di McLaurin: x=0 non è punto appartenente al dominio!!! Il fatto che esista il limite per x-->0 non ti autorizza a calcolare la funzione in quel punto (come devi fare nella formula di McLaurin).
Inoltre tale risultato non sarebbe coerente col grafico che diverge chiaramente.
ciao!
Non puoi sviluppare (1+x)^(1/x) in serie di McLaurin: x=0 non è punto appartenente al dominio!!! Il fatto che esista il limite per x-->0 non ti autorizza a calcolare la funzione in quel punto (come devi fare nella formula di McLaurin).
Inoltre tale risultato non sarebbe coerente col grafico che diverge chiaramente.
ciao!
Ciao Goblyn.
In effetti il procedimento da me adottato non è affatto teoricamente rigoroso, ma ..... a mali estremi, estremi rimedi! (Eulero insegna)
Per quanto riguarda il grafico della funzione penso che l'oscillazione della funzione nell'intorno del punto 0 sia dovuta all'algoritmo usato dai programmi CAS. Io ho provato a fare il grafico del solo numeratore con Derive e, intorno allo 0, compare la stessa oscillazone anche se il limite del solo numeratore è chiaramente 0!
In effetti il procedimento da me adottato non è affatto teoricamente rigoroso, ma ..... a mali estremi, estremi rimedi! (Eulero insegna)
Per quanto riguarda il grafico della funzione penso che l'oscillazione della funzione nell'intorno del punto 0 sia dovuta all'algoritmo usato dai programmi CAS. Io ho provato a fare il grafico del solo numeratore con Derive e, intorno allo 0, compare la stessa oscillazone anche se il limite del solo numeratore è chiaramente 0!
Hai ragione, lo fa anche con matlab... non ho controllato i conti ma il tuo ragionamento mi sembra corretto. Io e camillo abbiamo arrestato il polinomio di taylor al prim'ordine. Sbagliando. Ciao e grazie dell'osservazione!
Ciao a tutti.
Mi riferisco al comportamento oscillatorio vicino allo 0+ della funzione
((1+x)^(1/x) * sqr(1+x) - e)/x^2
mostrato da un paio di diagrammi allegati e giustamente guardato con sospetto dai più.
Il mio pedantesco punto di vista è che non si dovrebbe chiedere al calcolatore più precisione di quanto non possa dare (a meno di non dotarlo di software 'speciale' ad elevata precisione, che comunque non rimuove il problema ma lo sposta soltanto).
Mentre la macchina è in grado di calcolare con ottima precisione anche numeri piccolissimi, ad es. 2*PiGreco*10^-30, avendo un limitato numero di cifre di precisione rischia di cannare la semplice espressione 1+0,5*10^-15.
E le differenze di numeri vicinissimi sono delle vere bestiacce.
Nel caso in esame, per piccolissimi valori di x:
1- (1+x)^(1/x) vale "e" meno un pelo
2- sqr(1+x) vale 1 più un diverso mezzo pelo
3- il prodotto dei 2 vale un peluzzo più di "e" (non son capace di dimostrare qui che è sempre > "e"
4- la differenza tra "e" e quest'ultimo è piccolissima e verrà calcolata con una fortissima perdita di precisione.
5- non credo che sulla precisione influisca molto la divisione finale per il microscopico x^2.
6- il risultato è comunque un minestrone in cui gli errori di troncamento pari a metà della cifra persa influiscono talvolta psositivamente, talaltra negativamente (spiegando grossolanamente l'andamento oscillatorio della curva) e vengono esaltati in modo inversamente proporzionale alla x (spiegando grossolanamente l'andamento iperbolico dell?inviluppo).
Morale: non si cava sangue da una rapa.
Sull'argomento ho un caso autobiografico che vi farà sorridere:
tempo fa, non ricordando se la relazione corretta sia
CosH^2 - SinH^2 = 1
piuttosto che viceversa, invece di alzarmi per prendere un manuale, ho preferito battere una delle 2 formule, alla "o la va o la spacca".
Batto quindi (CosH(20))^2 - (SinH(20))^2; risultato = 0
Non è andata, dico; ma, per puro scrupolo, batto l'espressione contraria; risultato ancora = 0! (questo è un punto eslamativo, non un fattoriale).
Non mi perdo di coraggio e riprovo con un argomento più umano: 5 invece di 20; tutto OK.
Provate a tabulare i bizzarri risultati di quell'espressione per x variabile da 1 a 20;
al di sopra dell'8 (limite che dipende dal software) le cose non funzionano più (non ho provato a farne un diagramma, qualcuno vuole osare?).
L'accorto lettore si rende conto che le ragioni degli errori sono analoghe a quelle di cui sopra.
Tony
*Edited by - tony on 08/09/2003 04:46:20
Mi riferisco al comportamento oscillatorio vicino allo 0+ della funzione
((1+x)^(1/x) * sqr(1+x) - e)/x^2
mostrato da un paio di diagrammi allegati e giustamente guardato con sospetto dai più.
Il mio pedantesco punto di vista è che non si dovrebbe chiedere al calcolatore più precisione di quanto non possa dare (a meno di non dotarlo di software 'speciale' ad elevata precisione, che comunque non rimuove il problema ma lo sposta soltanto).
Mentre la macchina è in grado di calcolare con ottima precisione anche numeri piccolissimi, ad es. 2*PiGreco*10^-30, avendo un limitato numero di cifre di precisione rischia di cannare la semplice espressione 1+0,5*10^-15.
E le differenze di numeri vicinissimi sono delle vere bestiacce.
Nel caso in esame, per piccolissimi valori di x:
1- (1+x)^(1/x) vale "e" meno un pelo
2- sqr(1+x) vale 1 più un diverso mezzo pelo
3- il prodotto dei 2 vale un peluzzo più di "e" (non son capace di dimostrare qui che è sempre > "e"
4- la differenza tra "e" e quest'ultimo è piccolissima e verrà calcolata con una fortissima perdita di precisione.
5- non credo che sulla precisione influisca molto la divisione finale per il microscopico x^2.
6- il risultato è comunque un minestrone in cui gli errori di troncamento pari a metà della cifra persa influiscono talvolta psositivamente, talaltra negativamente (spiegando grossolanamente l'andamento oscillatorio della curva) e vengono esaltati in modo inversamente proporzionale alla x (spiegando grossolanamente l'andamento iperbolico dell?inviluppo).
Morale: non si cava sangue da una rapa.
Sull'argomento ho un caso autobiografico che vi farà sorridere:
tempo fa, non ricordando se la relazione corretta sia
CosH^2 - SinH^2 = 1
piuttosto che viceversa, invece di alzarmi per prendere un manuale, ho preferito battere una delle 2 formule, alla "o la va o la spacca".
Batto quindi (CosH(20))^2 - (SinH(20))^2; risultato = 0
Non è andata, dico; ma, per puro scrupolo, batto l'espressione contraria; risultato ancora = 0! (questo è un punto eslamativo, non un fattoriale).
Non mi perdo di coraggio e riprovo con un argomento più umano: 5 invece di 20; tutto OK.
Provate a tabulare i bizzarri risultati di quell'espressione per x variabile da 1 a 20;
al di sopra dell'8 (limite che dipende dal software) le cose non funzionano più (non ho provato a farne un diagramma, qualcuno vuole osare?).
L'accorto lettore si rende conto che le ragioni degli errori sono analoghe a quelle di cui sopra.
Tony
*Edited by - tony on 08/09/2003 04:46:20
Ecco qua! Hai proprio ragione... l'ho fatto con matlab...
(cosh(x))^2 - (sinh(x))^2 = 1 (mica sempre...
)
Modificato da - goblyn il 08/09/2003 12:02:11
(cosh(x))^2 - (sinh(x))^2 = 1 (mica sempre...
)Modificato da - goblyn il 08/09/2003 12:02:11
Ciao a tutti
Oltre che ringraziare goblyn, MaMO e tony per il loro valido contributo, volevo provare a tirare qualche conclusione su questo strano limite.
Mi sembra si possa dire che il limite cercato vale : e/12 ( circa 0.2265) .
All’inizio dei miei tentativi, avevo provato a usare un software matematico non potentissimo e non aggiornatissimo ( IO-MATEMATICO) che mi aveva comunque dato il risultato : 0.22649.
Mi era venuta l’idea di vedere in che rapporto stesse con e, e avevo visto che era molto vicino a : e/12.
Però nulla supportava dal punto di vista teorico questo “strano” risultato ( mi ero fermato ai termini di primo grado nello sviluppo asintotico) e quindi l’ avevo abbandonato.
D’altronde, le oscillazioni presenti nei grafici sembrano proprio dovute all’algoritmo usato dai programmi di calcolo.
Si ottiene dunque il valore corretto del limite usando scorrettamente, come dice goblyn, lo sviluppo in serie di Mac Laurin di una funzione (( 1+x)^(1/x)) che in x = 0 non solo non è derivabile, non è neanche continua , anzi non è neppur definita !
Cito : L.Amerio –Analisi Matematica –Formula di Taylor, che, nelle ipotesi di validità della stessa ,dice:
“ Sia f(x) continua in [a,b], con le prime n –1 derivate ed esista in ( a, b) la derivata n-esima.
Fissato x0 [a,b] e detto x un qualsiasi altro punto dello stesso intervallo risulta (formula di Taylor):
f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)/1! +(x-x0)^2 f''(x0)/2! +……..
Dice poi "se l’intervallo [a,b] contiene l’origine dell’asse x , si può porre x0 = 0 " e si ottiene la formula di Mac Laurin.
Come uscire quindi da questo strano inghippo?
Cedo il campo.
Camillo
Oltre che ringraziare goblyn, MaMO e tony per il loro valido contributo, volevo provare a tirare qualche conclusione su questo strano limite.
Mi sembra si possa dire che il limite cercato vale : e/12 ( circa 0.2265) .
All’inizio dei miei tentativi, avevo provato a usare un software matematico non potentissimo e non aggiornatissimo ( IO-MATEMATICO) che mi aveva comunque dato il risultato : 0.22649.
Mi era venuta l’idea di vedere in che rapporto stesse con e, e avevo visto che era molto vicino a : e/12.
Però nulla supportava dal punto di vista teorico questo “strano” risultato ( mi ero fermato ai termini di primo grado nello sviluppo asintotico) e quindi l’ avevo abbandonato.
D’altronde, le oscillazioni presenti nei grafici sembrano proprio dovute all’algoritmo usato dai programmi di calcolo.
Si ottiene dunque il valore corretto del limite usando scorrettamente, come dice goblyn, lo sviluppo in serie di Mac Laurin di una funzione (( 1+x)^(1/x)) che in x = 0 non solo non è derivabile, non è neanche continua , anzi non è neppur definita !
Cito : L.Amerio –Analisi Matematica –Formula di Taylor, che, nelle ipotesi di validità della stessa ,dice:
“ Sia f(x) continua in [a,b], con le prime n –1 derivate ed esista in ( a, b) la derivata n-esima.
Fissato x0 [a,b] e detto x un qualsiasi altro punto dello stesso intervallo risulta (formula di Taylor):
f(x) = f(x0)+(x-x0)f'(x0)/1! +(x-x0)^2 f''(x0)/2! +……..
Dice poi "se l’intervallo [a,b] contiene l’origine dell’asse x , si può porre x0 = 0 " e si ottiene la formula di Mac Laurin.
Come uscire quindi da questo strano inghippo?
Cedo il campo.
Camillo
Confermo e/12. Il limite lo ho calcolato con Derive 5 per Windows, ma ho ottenuto questo risultato specificamente per x tendente a 0+
Se lo calcolo per x tendente a 0 Derive si blocca!!
fireball
Se lo calcolo per x tendente a 0 Derive si blocca!!
fireball
Forse ci sono.
Applicando l'Hopital, dopo alcuni passaggi un po' laboriosi, si ottiene il seguente limite:
(((1 + x)^(1/x))/(4*sqrt(1 + x))*(2/x^2 + 1/x - (2(1 + x)ln(1 + x))/x^3).
Sviluppando in serie il logaritmo si trova:
ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3....
Inserendo questo risultato e semplificando il limite diventa:
(((1 + x)^(1/x))/(4*sqrt(1 + x))*((x^3/3...)/x^3)=(e/(4*1))*(1/3)= e/12.
Applicando l'Hopital, dopo alcuni passaggi un po' laboriosi, si ottiene il seguente limite:
(((1 + x)^(1/x))/(4*sqrt(1 + x))*(2/x^2 + 1/x - (2(1 + x)ln(1 + x))/x^3).
Sviluppando in serie il logaritmo si trova:
ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3....
Inserendo questo risultato e semplificando il limite diventa:
(((1 + x)^(1/x))/(4*sqrt(1 + x))*((x^3/3...)/x^3)=(e/(4*1))*(1/3)= e/12.
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