Limite difficile

[Camillo]

limite per x che tende a 0 di (((1+x)^(1/x))*sqrt(x+1))- e)/(x^2)

Ho provato a calcolare questo limite , ma ho molti dubbi sul risultato che ho ottenuto : infinito.
Chi vuole provare a cimentarsi ?
Grazie
Camillo

[goblyn]

In pratica è come sviluppare in serie di taylor (cioè si deriva insomma...) ma concettualmente è molto diverso. De L'Hopital è applicabile Talyor no.

Un'osservazione "storica"...

spesso nella scienza ci si trova di fronte ad un dato di fatto (e/12 in questo caso) che non si riesce a spiegare e si cerca di forzare qualche teoria al fine di trovare una spiegazione esauriente. Il bello è che altrettanto spesso la scienza va avanti utilizzando quel dato di fatto (che ancora non è stato spiegato ma, insomma, è evidente...) e fa progressi notevoli... poi qualcosa si sblocca e si riesce a giustificare tutto quanto...
Del resto la razionalizzazione di una teoria avviene spesso molto dopo che i suoi punti salienti siano stati concepiti!

[Camillo]

Che il limite sia : e/12 è ormai assodato al di là di ogni ragionevole dubbio.

Per quanto riguarda la giustificazione teorica, cioè la liceità dell’uso del Teorema di L’Hopital nel nostro caso , a secondo degli autori si trovano ipotesi più o meno restrittive ( alcuni richiedono che la funzione sia derivabile anche in x0 , e allora casca l’asino) altri sono più tolleranti, come Marcellini Sbordone –Esercitazioni di matematica che dice testualmente :

Teorema di L’Hopital

Sia I un intorno di x0 e siano f(x) e g(x) funzioni derivabili in I – [ x0].Supponiamo che :
A) lim per x che tende a x0 di f(x) e di g(x) siano entrambi : 0 ;
B) g ‘(x) sia diverso da 0 per ogni x appartenente a I- [x0]
C) esista (finito o infinito ) il limite per x che tende a x0 di : f’(x)/g’(x).
Allora anche il rapporto f(x)/g(x) ammette limite per x che tende a x0 e si ha :
limite per x che tende a x0 di f(x)/g(x) = limite per x che tende a x0 di f’(x)/g’(x) .

Certo che sarei curioso di sapere come stanno veramente le cose, ma questo lo lascio agli esperti di teoria ….
Ciao a tutti
Camillo