Limite differenza finita
Ciao, amici!
Il mio testo (di algebra lineare) introduce il metodo delle differenze finite dicendo che il limite \(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\Delta^n u}{\Delta x^n}=u^{(n)}(x)\) è appunto uguale alla derivata dello stesso ordine della differenza finita, la quale si dimostra (divertendosi con qualche sommatoria e coefficiente binomiale) che è \(\Delta^{n}u=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} u(x+(\frac{n}{2}-k)h)\).
Sarà anche immediato che il limite di cui sopra è la derivata $n$-esima, ma ho voluto dimostrarlo a me stesso (come cerco naturalmente di fare sempre) e non sono del tutto convinto di una cosa, tant'è che ci sto perdendo il sonno... Essendo
\[\frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{u(x+\frac{h}{2})-u(x-\frac{h}{2})}{h}\]
che chiaramente tende a \(u'(x)\) per $h->0$, procedo per induzione ponendo \(\frac{\Delta^n u}{\Delta x^n}=f(x,h)\) e supponendo che \(\lim_{h \to 0}f(x,h)=u^{(n)}(x)\) con $n \geq 1$ e, calcolando analogamente a quanto fatto per \(\frac{\Delta u}{\Delta x}\) la differenza finita
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=g(x,h,l)=\frac{f(x+\frac{l}{2},h)-f(x-\frac{l}{2},h)}{l}$, voglio dimostrare (dato che \(\frac{\Delta^{n+1} u}{\Delta^{n+1} x}=g(x,h,h)\)) che vale $\lim_{h \to 0} g(x,h,h)=u^{n+1}(x)$. Osservo che
$\lim_{l\to 0} \lim_{h \to 0} g(x,h,l)=\lim_{l\to 0} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+\frac{l}{2},h)-f(x-\frac{l}{2},h)}{l}=\lim_{l\to 0} \frac{u^{(n)}(x+\frac{l}{2})-u^{(n)}(x-\frac{l}{2})}{l}=u^{(n+1)}(x)$
Ora, per dimostrare che $\lim_{h \to 0} g(x,h,h)=u^{n+1}(x)$ è lecito porre semplicemente $l=h$ nel precedente limite? Non vedo perché non si dovrebbe, ma non ne sono certo...
Grazie di cuore a chi vorrà chiarirmi questo dubbio!!!
Il mio testo (di algebra lineare) introduce il metodo delle differenze finite dicendo che il limite \(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\Delta^n u}{\Delta x^n}=u^{(n)}(x)\) è appunto uguale alla derivata dello stesso ordine della differenza finita, la quale si dimostra (divertendosi con qualche sommatoria e coefficiente binomiale) che è \(\Delta^{n}u=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} u(x+(\frac{n}{2}-k)h)\).
Sarà anche immediato che il limite di cui sopra è la derivata $n$-esima, ma ho voluto dimostrarlo a me stesso (come cerco naturalmente di fare sempre) e non sono del tutto convinto di una cosa, tant'è che ci sto perdendo il sonno... Essendo
\[\frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{u(x+\frac{h}{2})-u(x-\frac{h}{2})}{h}\]
che chiaramente tende a \(u'(x)\) per $h->0$, procedo per induzione ponendo \(\frac{\Delta^n u}{\Delta x^n}=f(x,h)\) e supponendo che \(\lim_{h \to 0}f(x,h)=u^{(n)}(x)\) con $n \geq 1$ e, calcolando analogamente a quanto fatto per \(\frac{\Delta u}{\Delta x}\) la differenza finita
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=g(x,h,l)=\frac{f(x+\frac{l}{2},h)-f(x-\frac{l}{2},h)}{l}$, voglio dimostrare (dato che \(\frac{\Delta^{n+1} u}{\Delta^{n+1} x}=g(x,h,h)\)) che vale $\lim_{h \to 0} g(x,h,h)=u^{n+1}(x)$. Osservo che
$\lim_{l\to 0} \lim_{h \to 0} g(x,h,l)=\lim_{l\to 0} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+\frac{l}{2},h)-f(x-\frac{l}{2},h)}{l}=\lim_{l\to 0} \frac{u^{(n)}(x+\frac{l}{2})-u^{(n)}(x-\frac{l}{2})}{l}=u^{(n+1)}(x)$
Ora, per dimostrare che $\lim_{h \to 0} g(x,h,h)=u^{n+1}(x)$ è lecito porre semplicemente $l=h$ nel precedente limite? Non vedo perché non si dovrebbe, ma non ne sono certo...
Grazie di cuore a chi vorrà chiarirmi questo dubbio!!!
Risposte
Per chi si fosse fatto le mie stesse domande segnalo che, per quanto mi ha gentilmente fatto notare Totissimus, che ringrazio di nuovo, la mia ipotesi di sostituire $h$ a $l$ non regge.
Se qualcuno fosse così buono da accendere una candela nel buio dei miei vaneggiamenti, lo ringrazio $oo$-mente...
Se qualcuno fosse così buono da accendere una candela nel buio dei miei vaneggiamenti, lo ringrazio $oo$-mente...
Ma infatti in queste cose è sempre necessaria a priori l'ipotesi che la \(u\) sia di classe \(C^n\) (dovendo calcolare il limite della \(n\)-esima differenza finita). Forse si può indebolire un po', richiedendo soltanto che l'ultima derivata esista e non necessariamente che sia continua, non te lo so dire così su due piedi.
C'è un esercizio su "Principi di analisi matematica" di Rudin proprio su questo punto: è il numero 11 del capitolo 5.
C'è un esercizio su "Principi di analisi matematica" di Rudin proprio su questo punto: è il numero 11 del capitolo 5.
$+oo$ grazie, dissonance!!! Se $u$ quindi è di classe $C^{n+1}$ non mi è chiaro se diventi allora lecito porre $l=h$ nel limite che ho calcolato (me ne sfuggerebbe il motivo...) o allora si utilizza un procedimento diverso per dimostrare che \(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{\Delta^n u}{\Delta x^n}=u^{(n)}(x)\)... Scusa se do i numeri...
Grazie di cuore ancora!
Grazie di cuore ancora!
Ah boh, non ho riflettuto sul problema. Se sai già che esiste la derivata puoi usare il teorema del valor medio, sicuramente sarà questa la chiave di lettura.
Non ci avevo pensato! Il caldo mi sta degradando cognitivamente... Deve esistere uno \(\xi\in(x-\frac{|l|}{2},x+\frac{|l|}{2})\) tale che
\[u^{(n+1)}(\xi)=\frac{u^{(n)}(x+\frac{l}{2})-u^{(n)}(x-\frac{l}{2})}{l}\]
quindi, dato che \(|\xi-x|<\frac{|l|}{2}\), se \(u^{(n+1)}\) è continua in \(x\) allora \(\forall\epsilon>0\text{ } \exists \delta>0:0<|l|<2\delta \Rightarrow 0<|\xi-x|<\delta \Rightarrow |u^{(n+1)}(\xi)-u^{(n+1)}(x)|<\epsilon \).
\(\aleph_1\) grazie!!!
\[u^{(n+1)}(\xi)=\frac{u^{(n)}(x+\frac{l}{2})-u^{(n)}(x-\frac{l}{2})}{l}\]
quindi, dato che \(|\xi-x|<\frac{|l|}{2}\), se \(u^{(n+1)}\) è continua in \(x\) allora \(\forall\epsilon>0\text{ } \exists \delta>0:0<|l|<2\delta \Rightarrow 0<|\xi-x|<\delta \Rightarrow |u^{(n+1)}(\xi)-u^{(n+1)}(x)|<\epsilon \).
\(\aleph_1\) grazie!!!
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