Limite di una successione (invalicabile)

[AlforMath]

Ciao a tutti. Scrivo qui per la prima volta sperando che qualcuno trovi banale il problema che non riesco a risolvere e sia così gentile da indicarmi un metodo.
Tentando di affrontare i problemi meno immediati senza soluzione del libro di testo mi sono imbattuto in questo:
$ lim_{n \to \infty} (root(n) ((n+1)(n+2)...(n+(n-1))2n))/n $
Ho tentato alcune trasformazioni. Ma niente. L'ho inserito in Mathematica e, malgrado io sia alle primissime armi anche con quella potenza di software, sono riuscito ad ottenerne il limite. Non tanto per la soluzione in se, che senza saperla trovare da me consideravo quasi inutile. Quanto per una semplificazione nella ricerca del limite.
E risulta che tende a 4/e. Inoltre, plottandola, mostra un comportamento per niente banale che mi ha ulteriormente motivato nella ricerca di questa soluzione.
Ho provato Simplify e FullSimplify in Mathematica, ma si limita a mostrare il risultato numerico senza passaggi.
Spero che qualcuno sia disponibile a darmi una mano.
Saluti

[gugo82]

Il radicando è uguale a \(\frac{(2n)!}{n!}\).
Per il calcolo del limite, usa la formula di Stirling.

[AlforMath]

Grande! Sospettavo mi mancasse un tassello che non mi permetteva di vedere la soluzione. E quel tassello era la formula di Stirling. Non la conoscevo.
Grazie

[theras]

@Alformath.
Se non vuoi usare la formula di Stirling,o se cerchi un'alternativa/complemento ad essa,sappi che è vero come,
$AA{a_n}_(n in NN) sube (0,+oo)$ $t.c.$ $EElim_(n to oo)(a_(n+1))/(a_n)$,si ha che $EE lim_(n to oo)(a_n)^(1/n)=lim_(n to oo)(a_(n+1))/(a_n)$:
c'è modo di renderla,abbastanza comodamente,un'informazione utile .
Saluti dal web.