Limite di una successione, giusta considerazione al denomi..

[smaug1]

$\lim_{n->oo} \frac{-n^3 \log n + n^4 \sin (1/n) + e^{-3n}}{n^{-2n}(n + 2/n)^{2n}}$

Io ho pensato che il denominatore faccia $1$ poichè $n^{-2n}(n + 2/n)^{2n} = ((n^2 + 2) / n^2)^{2n} = 1^{2n} = 1$

$e^{-3n} = 0$ poichè sarebbe $1 / \exp (3n)$...no?

$n^4 \sin (1/n) \sim n^3$...no?

e ciò che mi rimane del limite sarebbe $n^3 - n^3 \log n = oo - oo$

grazie

[StefanoMDj]

ci sono un po' di incorrettezze...
i consigli che ti posso dare sono:
1)rendi $-n^3logn$ asintotico a $f(x)$ pensando a quale funziona predomina sull'altra
2)sviluppa di più il $sin(1/x)$ se non basta il primo ordine
3)riguarda tutto il denominatore (effettivamente fa $1$ ma non è giusto il tuo procedimento) e ricorda che $1^oo$ è una forma indeterminata e non fa $1$...almeno per quanto ricordo io xD

ciao e fammi sapere come prosegue

[smaug1]

"StefanoMDj":ci sono un po' di incorrettezze...
i consigli che ti posso dare sono:
1)rendi $-n^3logn$ asintotico a $f(x)$ pensando a quale funziona predomina sull'altra
2)sviluppa di più il $sin(1/x)$ se non basta il primo ordine
3)riguarda tutto il denominatore (effettivamente fa $1$ ma non è giusto il tuo procedimento) e ricorda che $1^oo$ è una forma indeterminata e non fa $1$...almeno per quanto ricordo io xD

ciao e fammi sapere come prosegue

Hai ragione al denominatore $((n^2+2)/n^2)^{2n} = (1 + 2/n^2)^{2n} = \exp(4/n) = 1$

$-n^3 \log n \sim -n^3$

Tu vedi che non basta lo sviluppo del primo ordine altrimenti si semplificherebbe tutto?

Quindi $\sin(1/n) = 1/n - 1 / (6n^3)$

$f(x) = - n^3 + n^4(1/n - 1/(6n^3)) = - n/6$....grazie