Limite di una successione dipendente da un parametro reale
Al variare di $alpha$ calcolare il limite $ \lim_{n \rightarrow +\infty}n^\alpha{e^{1/{2n}}[1+sin(1/n)]^n-e}$.
Per risolverlo ho riscritto $[1+sin(1/n)]^n$ in $ e^{n\cdot ln(1+sin(1/n))}$ e quindi la successione diventa $n^\alpha{e^{1/{2n}}e^{n\cdot ln[1+sin(1/n)]}-e}=n^\alpha{e^{1/{2n}+n\cdot ln[1+sin(1/n)]}-e}=n^\alpha e{e^{1/{2n}-1+n\cdot ln[1+sin(1/n)]}-1}=n^\alpha e{e^{{1-2n}/{2n}+n\cdot ln[1+sin(1/n)]}-1}$.
L'esponente di $e$ tende a zero poiché ${1-2n}/{2n}\rightarrow -1 $ e $nln[1+sin(1/n)]$ è asintotico a $n\cdot [sin(1/n)]\rightarrow 1$ quindi è infinitesimo. Sapendo che è infinitesimo posso applicare l'asintotico derivante dal limite notevole ${e^{\epsilon_n}-1}/\epsilon_n\rightarrow 1$ e la successione diventa $n^\alpha e ({1-2n}/{2n}+n\cdot ln[1+sin(1/n)])$. So che il termine a destra tende a $0$ e $n^alpha e$ tende a$0$ se $alpha \leq 0$ quindi concludo che il limite della successione per $alpha \leq 0$ è $0$. Per $alpha > 0 $ ho la forma d'indecisione $0\cdot infty$ e non so come andare avanti. Ho applicato gli sviluppi di Taylor per $ln[1+sin(1/n)]$ fino al secondo ordine quindi $sin(1/n)-sin^2(1/n)\cdot 1/2+o(sin^2(1/n))$ e diventa dunque ${1-2n}/{2n}+nsin(1/n)-n/2sin^2(1/n)+n\cdoto(1/n^2)$. Faccio poi il denominatore comune e mi esce ${1-2n+2n^2sin(1/n)-n^2sin^2(1/n)+o(1)}/{2n}$.
Quindi la successione scritta per bene è ${n^alpha e}/{2n}(1-2n+2n^2sin(1/n)-n^2sin^2(1/n)+o(1))$ che non mi risolve un bel niente perché rimane $0\cdot infty$....
Per risolverlo ho riscritto $[1+sin(1/n)]^n$ in $ e^{n\cdot ln(1+sin(1/n))}$ e quindi la successione diventa $n^\alpha{e^{1/{2n}}e^{n\cdot ln[1+sin(1/n)]}-e}=n^\alpha{e^{1/{2n}+n\cdot ln[1+sin(1/n)]}-e}=n^\alpha e{e^{1/{2n}-1+n\cdot ln[1+sin(1/n)]}-1}=n^\alpha e{e^{{1-2n}/{2n}+n\cdot ln[1+sin(1/n)]}-1}$.
L'esponente di $e$ tende a zero poiché ${1-2n}/{2n}\rightarrow -1 $ e $nln[1+sin(1/n)]$ è asintotico a $n\cdot [sin(1/n)]\rightarrow 1$ quindi è infinitesimo. Sapendo che è infinitesimo posso applicare l'asintotico derivante dal limite notevole ${e^{\epsilon_n}-1}/\epsilon_n\rightarrow 1$ e la successione diventa $n^\alpha e ({1-2n}/{2n}+n\cdot ln[1+sin(1/n)])$. So che il termine a destra tende a $0$ e $n^alpha e$ tende a$0$ se $alpha \leq 0$ quindi concludo che il limite della successione per $alpha \leq 0$ è $0$. Per $alpha > 0 $ ho la forma d'indecisione $0\cdot infty$ e non so come andare avanti. Ho applicato gli sviluppi di Taylor per $ln[1+sin(1/n)]$ fino al secondo ordine quindi $sin(1/n)-sin^2(1/n)\cdot 1/2+o(sin^2(1/n))$ e diventa dunque ${1-2n}/{2n}+nsin(1/n)-n/2sin^2(1/n)+n\cdoto(1/n^2)$. Faccio poi il denominatore comune e mi esce ${1-2n+2n^2sin(1/n)-n^2sin^2(1/n)+o(1)}/{2n}$.
Quindi la successione scritta per bene è ${n^alpha e}/{2n}(1-2n+2n^2sin(1/n)-n^2sin^2(1/n)+o(1))$ che non mi risolve un bel niente perché rimane $0\cdot infty$....
Risposte
Se permane una forma indeterminata, significa che devi sviluppare di più con Taylor.
Anzi, ti consiglio di sviluppare con Taylor fin dal principio: l'$\alpha$ che hai trovato per cui il limite è $0$ non è del tutto corretto.
Sei sulla strada giusta comunque!
Anzi, ti consiglio di sviluppare con Taylor fin dal principio: l'$\alpha$ che hai trovato per cui il limite è $0$ non è del tutto corretto.
Sei sulla strada giusta comunque!
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