Limite di una successione di reali

[multim]

Salve a tutti, un esercizio mi da la seguente successione:
$ root(n)( 7^n + 3^n) $

Ora, io ho sbirciato il risultato e ho visto che risulta $7$ .
Allora ho provato a porre la successione convergente ad un certo $l$ (anche se mi sembra di aver barato, poichè come posso sapere a priori se questa converge o no?)
ricavandomi
$7^n + 3^n = l^n$
ma questo non sembra portarmi da nessuna parte. Qualcuno saprebbe darmi un aiuto? Perchè non ho la minima idea di come potermi muovere... grazie!

[Seneca1]

"multim":Salve a tutti, un esercizio mi da la seguente successione:
$ root(n)( 7^n + 3^n) $

Ora, io ho sbirciato il risultato e ho visto che risulta $7$ .
Allora ho provato a porre la successione convergente ad un certo $l$ (anche se mi sembra di aver barato, poichè come posso sapere a priori se questa converge o no?)
ricavandomi
$7^n + 3^n = l^n$
ma questo non sembra portarmi da nessuna parte. Qualcuno saprebbe darmi un aiuto? Perchè non ho la minima idea di come potermi muovere... grazie!

$ root(n)( 7^n + 3^n) $

Sapendo che:

$lim_(x -> +oo) root(x)( 7^x + 3^x) = lambda => lim_(n -> +oo) root(n)( 7^n + 3^n) = lambda$

Basta risolvere $lim_(x -> +oo) root(x)( 7^x + 3^x)$

$3^(x)$ è un infinito di ordine inferiore; quindi si può trascurare.

$lim_(x -> +oo) root(x)( 7^x + 3^x) = lim_(x -> +oo) root(x)( 7^x ) = 7$

[Seneca1]

Anche se in realtà, senza passare alle funzioni, bastava scrivere:

$lim_(n -> +oo) root(n)( 7^n ( 1 + (3^n)/7^n)) = 7 * lim_(n -> +oo) root(n)( 1 + (3^n)/7^n)$

con $(3^n)/7^n -> 0$ per $n -> +oo$.

[multim]

"Seneca":Anche se in realtà, senza passare alle funzioni, bastava scrivere:

$lim_(n -> +oo) root(n)( 7^n ( 1 + (3^n)/7^n)) = 7 * lim_(n -> +oo) root(n)( 1 + (3^n)/7^n)$

con $(3^n)/7^n -> 0$ per $n -> +oo$.

Grazie, questo era quanto mi serviva perchè l'esercizio mi vietava esplicitamente di usare trascurabilità, asintoticità, ecc