Limite di una successione di funzioni

[Abbandono]

Salve, sto avendo un po' di problemi con le successioni di funzioni, specialmente quando devo essere io a trovare la funzione limite. Non ho in generale problemi una volta trovata a verificare la convergenza puntuale ed uniforme, ma spesso è proprio trovarla il problema, specialmente quando non si tratta della funzione identicamente nulla o comunque di qualcosa di semplice.
A tal proposito non sono assolutamente riuscito a comprendere questo esercizio, che vi propongo:

Sia la successione di funzioni così definita:
$f_n: (0,\infty) \to RR$
$f_n(x)=n*(x^((n+1)/n)-x)$

Trovare le funzioni limite di f e delle sue derivate n-esime.
La soluzione dice che la funzione limite di f sia $f(x)= x* log(x)$

Io ho proceduto in tale maniera:
$\lim_{n \to \infty}f_n(x)$=nx^1-nx=0
Da ciò dunque seguiva la convergenza puntuale alla funzione identicamente nulla. Non ho continuato con la convergenza uniforme perché avevo già visto di aver errato.
Ho provato a studiare la convergenza delle serie derivate per poi applicare i teoremi dello scambio del limite, ma anche nel caso della derivata non ho ottenuto come risultato quello sperato.
Consigli?

[Studente Anonimo]

Veramente:

$lim_(n->+oo)n(x^((n+1)/n)-x)=[oo*0]$

sarebbe una forma indeterminata. Ad ogni modo:

$lim_(n->+oo)n(x^((n+1)/n)-x)=lim_(n->+oo)nx(x^(1/n)-1)=lim_(n->+oo)nx(e^(1/nlogx)-1)=$

$=lim_(n->+oo)nx[1+1/nlogx+o(1/n)-1]=lim_(n->+oo)xlogx+o(1)=xlogx$

[Abbandono]

Mi vergogno di aver calcolato il limite con estrema sufficienza allora ahahah
Grazie mille!