Limite di una successione a termini infiniti e infinitesimi
Salve, mi sto scervellando su questa successione, provando di tutto e di più: da maneggiamenti algebrici, o-piccolo, equivalenze asintotiche ma non funziona nulla...
Determinare per quali $alpha$ la successione così definita $x_n=n^4(tan^2(1/n)-alphasin^4(1/n)-1/n^2)$ tenda a $0$. Ho provato a usare le equivalenze asintotiche ma avendo a che fare con differenze, il risultato cambiava a seconda di cosa usavo. Poi sono passato agli o-piccoli ma anche lì mi son trovato in un'impasse. Non so più che tecniche usare... forse con Taylor potrei risolverlo ma non lo abbiamo ancora trattato e soprattutto ci sono termini elevati alla quarta che sviluppando con Taylor diventa un inferno...
Determinare per quali $alpha$ la successione così definita $x_n=n^4(tan^2(1/n)-alphasin^4(1/n)-1/n^2)$ tenda a $0$. Ho provato a usare le equivalenze asintotiche ma avendo a che fare con differenze, il risultato cambiava a seconda di cosa usavo. Poi sono passato agli o-piccoli ma anche lì mi son trovato in un'impasse. Non so più che tecniche usare... forse con Taylor potrei risolverlo ma non lo abbiamo ancora trattato e soprattutto ci sono termini elevati alla quarta che sviluppando con Taylor diventa un inferno...
Risposte
Ciao!
Penso possa essere utile riscrivere la successione come
Considerando $lim_(n->+infty)(a_n-b_n)$
Si vede subito che $b_n->alpha, forall alpha inRR$
Se l’altro limite esiste, il limite della differenza eguaglia la differenza dei limiti. Quindi prova a vedere cosa fa $a_n$
Penso possa essere utile riscrivere la successione come
$underbrace(n^4*[tan^2(1/n)-1/n^2])_(a_n)-underbrace(alpha*[sin(1/n)/(1/n)]^4)_(b_n)$
Considerando $lim_(n->+infty)(a_n-b_n)$
Si vede subito che $b_n->alpha, forall alpha inRR$
Se l’altro limite esiste, il limite della differenza eguaglia la differenza dei limiti. Quindi prova a vedere cosa fa $a_n$
"anto_zoolander":
Ciao!
Penso possa essere utile riscrivere la successione come
$underbrace(n^4*[tan^2(1/n)-1/n^2])_(a_n)-underbrace(alpha*[sin(1/n)/(1/n)]^4)_(b_n)$
Considerando $lim_(n->+infty)(a_n-b_n)$
Si vede subito che $b_n->alpha, forall alpha inRR$
Se l’altro limite esiste, il limite della differenza eguaglia la differenza dei limiti. Quindi prova a vedere cosa fa $a_n$
Io e le successioni non andiamo d'accordo a quanto pare... $a_n$ deve tendere a $2/3$ perché il risultato viene $2/3-alpha$. Ho provato a cercare un modo ma nulla da fare. Ho riscritto la tangente in $sin^2(1/n)/cos^2(1/n)$ e poi ho usato le equivalenze asintotiche $sin^2(1/n) \~ 1/n^2$ e $cos^2(1/n) ~ 1-1/{2n^2}$ e quindi sostituendo tutto mi viene $n^4(2/{2n^2-1}-1/n^2)$ che tende a $1/2$...
Il problema è che non puoi usare le equivalenze asintotiche, perché al primo ordine le equivalenze coincidono.
Potresti considerare che $tan(x)=x+x^3/3+o(x^3) => tan(1/x)=1/x+1/(3x^3)+o(1/x^3)$ per $x->+infty$
quindi
$tan^2(1/n)=([1/n+1/(3n^3)]^2+o(1/n^3)]=[1/n+1/(3n^3)]^2+2[1/n+1/(3n^3)]*o(1/n^3)+o(1/n^6)$
nota che $(1/n^6)/(1/n^4)=n^4/n^6=1/n^2->0$ quindi $o(1/n^6)=o(1/n^4)$
poi $[1/n+1/(3n^3)]*o(1/n^3)=o(1/n^4)$
infine $[1/n+1/(3n)^3]^2=1/n^2+2/(3n^4)+1/(9n^6)=1/n^2+2/3*1/n^4+o(1/n^4)$
a questo punto sostituendo tutto ottieni
così si conclude.
spero ti sia chiaro.
Potresti considerare che $tan(x)=x+x^3/3+o(x^3) => tan(1/x)=1/x+1/(3x^3)+o(1/x^3)$ per $x->+infty$
quindi
$tan(1/n)=1/n+1/(3n^3)+o(1/n^3)$ per $n->+infty$
$tan^2(1/n)=([1/n+1/(3n^3)]^2+o(1/n^3)]=[1/n+1/(3n^3)]^2+2[1/n+1/(3n^3)]*o(1/n^3)+o(1/n^6)$
nota che $(1/n^6)/(1/n^4)=n^4/n^6=1/n^2->0$ quindi $o(1/n^6)=o(1/n^4)$
poi $[1/n+1/(3n^3)]*o(1/n^3)=o(1/n^4)$
infine $[1/n+1/(3n)^3]^2=1/n^2+2/(3n^4)+1/(9n^6)=1/n^2+2/3*1/n^4+o(1/n^4)$
a questo punto sostituendo tutto ottieni
$n^4*[1/n^2+2/3*1/n^4-1/n^2+o(1/n^4)]$
$2/3+n^4*o(1/n^4)->2/3$
$2/3+n^4*o(1/n^4)->2/3$
così si conclude.
spero ti sia chiaro.
"anto_zoolander":
Il problema è che non puoi usare le equivalenze asintotiche, perché al primo ordine le equivalenze coincidono.
Potresti considerare che $tan(x)=x+x^3/3+o(x^3) => tan(1/x)=1/x+1/(3x^3)+o(1/x^3)$ per $x->+infty$
quindi
$tan(1/n)=1/n+1/(3n^3)+o(1/n^3)$ per $n->+infty$
$tan^2(1/n)=([1/n+1/(3n^3)]^2+o(1/n^3)]=[1/n+1/(3n^3)]^2+2[1/n+1/(3n^3)]*o(1/n^3)+o(1/n^6)$
nota che $(1/n^6)/(1/n^4)=n^4/n^6=1/n^2->0$ quindi $o(1/n^6)=o(1/n^4)$
poi $[1/n+1/(3n^3)]*o(1/n^3)=o(1/n^4)$
infine $[1/n+1/(3n)^3]^2=1/n^2+2/(3n^4)+1/(9n^6)=1/n^2+2/3*1/n^4+o(1/n^4)$
a questo punto sostituendo tutto ottieni
$n^4*[1/n^2+2/3*1/n^4-1/n^2+o(1/n^4)]$
$2/3+n^4*o(1/n^4)->2/3$
così si conclude.
spero ti sia chiaro.
grazie mille per aver risposto. Gli sviluppi di Taylor funzionano quasi sempre ma stavo cercando se ci fosse un'altra strada. Così l'ho capito e mi è chiaro. Un'ultima cosa: quando effettivamente posso usare le equivalenze asintotiche? Non le dovrei MAI usare quando va di mezzo una differenza?
Ciao Liquid Science,
Usando le notazioni di anto_zoolander scriverei
$a_n = n^4 [tan^2(1/n)-1/n^2] = \frac{tan^2(1/n)-1/n^2}{1/n^4} = \frac{tan^2(1/n)-1/n^2}{1/n^4} = \frac{tan(1/n)-1/n}{1/n^3} \cdot \frac{tan(1/n)+1/n}{1/n} $
A questo punto, dato che $\lim_{n \to +\infty} \frac{tan(1/n)+1/n}{1/n} = 2 $, non ti resta che dimostrare che si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{tan(1/n)-1/n}{1/n^3} = 1/3 $
Usando le notazioni di anto_zoolander scriverei
$a_n = n^4 [tan^2(1/n)-1/n^2] = \frac{tan^2(1/n)-1/n^2}{1/n^4} = \frac{tan^2(1/n)-1/n^2}{1/n^4} = \frac{tan(1/n)-1/n}{1/n^3} \cdot \frac{tan(1/n)+1/n}{1/n} $
A questo punto, dato che $\lim_{n \to +\infty} \frac{tan(1/n)+1/n}{1/n} = 2 $, non ti resta che dimostrare che si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{tan(1/n)-1/n}{1/n^3} = 1/3 $
"Liquid Science":
quando effettivamente posso usare le equivalenze asintotiche?
quando non danno vita a forme indeterminate.
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