Limite di Una successione
Vorrei sapere se il seguente procedimento risulta corretto:
sia da calcolare:
$\lim_{n to\infty}\ \sum_{k=n+1}^{2n} \ k^-2$
Anzitutto osserviamo che:
$\lim_{n to\infty}\ \sum_{k=n+1}^{2n} \ k^-2=\lim_{n to\infty}\ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2}=\lim_{n to\infty} \ \frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\frac{1}{(n+3)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+k)^2}$;
osserviamo inoltre che:
$\frac{1}{(n+n)^2}+\frac{1}{(n+n)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+k)^2}\le$
$\le\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$
infatti ogni elemento della successione di sinistra è piu piccolo del corrispondente elemento della successione centrale :
$\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+1)^2}$ ; $\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+2)^2}$ ; $\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+3)^2}$ ; $\cdots$
analogamente , ogni elemento della successione centrale è più piccolo dei ogni corrispondente elemento della successione di destra:
$\frac{1}{(n+1)^2}\le\frac{1}{n^2}$ ; $\frac{1}{(n+2)^2}\le\frac{1}{n^2}$ ; $\frac{1}{(n+3)^2}\le\frac{1}{n^2}$ ; $\cdots$
Dunque abbiamo trovato tre successioni, $a_n$, $b_n$, $c_n$, legate dalla relazione:
$a_n\leb_n\lec_n$
ovvero:
$a_n=\frac{n}{(n+n)^2}\le b_n=\sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2}\le c_n=\frac{n}{n^2}$
a questo punto parte delle ipotesi del teorema dei carabinieri è verificata ($a_n\leb_n\lec_n$);ora , se il limite di $a_n=c_n$ possiamo conludere che anche il limite di $b_n$ sarà uguale a limite di $a_n=c_n$
Allora passando ai limiti otteniamo:
$\lim_{n to\infty} \ \frac{n}{(n+n)^2}\le\lim_{n to\infty} \ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2}\le \lim_{n to\infty} \ \frac{n}{n^2}$
$\lim_{n to\infty} \ \frac{n}{(n+n)^2}=\frac{n}{4n^2}=\frac{1}{4n}=0$
e
$\lim_{n to\infty} \ \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}=0$
possiamo concludere che, per confronto,
$\lim_{n to\infty}\ \sum_{k=n+1}^{2n} \ k^-2=\lim_{n to\infty} \ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2}=0$
sia da calcolare:
$\lim_{n to\infty}\ \sum_{k=n+1}^{2n} \ k^-2$
Anzitutto osserviamo che:
$\lim_{n to\infty}\ \sum_{k=n+1}^{2n} \ k^-2=\lim_{n to\infty}\ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2}=\lim_{n to\infty} \ \frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\frac{1}{(n+3)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+k)^2}$;
osserviamo inoltre che:
$\frac{1}{(n+n)^2}+\frac{1}{(n+n)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+k)^2}\le$
$\le\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$
infatti ogni elemento della successione di sinistra è piu piccolo del corrispondente elemento della successione centrale :
$\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+1)^2}$ ; $\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+2)^2}$ ; $\frac{1}{(n+n)^2}\le\frac{1}{(n+3)^2}$ ; $\cdots$
analogamente , ogni elemento della successione centrale è più piccolo dei ogni corrispondente elemento della successione di destra:
$\frac{1}{(n+1)^2}\le\frac{1}{n^2}$ ; $\frac{1}{(n+2)^2}\le\frac{1}{n^2}$ ; $\frac{1}{(n+3)^2}\le\frac{1}{n^2}$ ; $\cdots$
Dunque abbiamo trovato tre successioni, $a_n$, $b_n$, $c_n$, legate dalla relazione:
$a_n\leb_n\lec_n$
ovvero:
$a_n=\frac{n}{(n+n)^2}\le b_n=\sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2}\le c_n=\frac{n}{n^2}$
a questo punto parte delle ipotesi del teorema dei carabinieri è verificata ($a_n\leb_n\lec_n$);ora , se il limite di $a_n=c_n$ possiamo conludere che anche il limite di $b_n$ sarà uguale a limite di $a_n=c_n$
Allora passando ai limiti otteniamo:
$\lim_{n to\infty} \ \frac{n}{(n+n)^2}\le\lim_{n to\infty} \ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2}\le \lim_{n to\infty} \ \frac{n}{n^2}$
$\lim_{n to\infty} \ \frac{n}{(n+n)^2}=\frac{n}{4n^2}=\frac{1}{4n}=0$
e
$\lim_{n to\infty} \ \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}=0$
possiamo concludere che, per confronto,
$\lim_{n to\infty}\ \sum_{k=n+1}^{2n} \ k^-2=\lim_{n to\infty} \ \sum_{k=1}^{n} \ \frac{1}{(n+k)^2}=0$
Risposte
Va bene. Ti sarebbe bastata anche la sola stima \(0\le b_n \le c_n\), visto che \(c_n=1/n \to 0\).
Se vuoi, prova anche a seguire questa traccia per uno svolgimento forse un po' più semplice. Tu sai che
\[\sum_{k=1}^\infty k^{-2}\]
converge. Ma allora la successione dei resti
\[R_n=\sum_{k=n}^\infty k^{-2}\]
tende a \(0\). Prova a confrontare la tua successione con questa.
Se vuoi, prova anche a seguire questa traccia per uno svolgimento forse un po' più semplice. Tu sai che
\[\sum_{k=1}^\infty k^{-2}\]
converge. Ma allora la successione dei resti
\[R_n=\sum_{k=n}^\infty k^{-2}\]
tende a \(0\). Prova a confrontare la tua successione con questa.
quindi utilizzando le serie?
"dissonance":
Va bene. Ti sarebbe bastata anche la sola stima \(0\le b_n \le c_n\), visto che \(c_n=1/n \to 0\).
in quanto i termini della successione data sono certamente tutti positivi, giusto?
1) Si, utilizzando il teoremino secondo cui se una serie converge allora la successione dei resti \(n\)-esimi tende a zero.
2) Si, come ho scritto: \(0 \le b_n\).
2) Si, come ho scritto: \(0 \le b_n\).
ok preciso!
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