Limite di una successione.
Salve a tutti. Stavo svolgendo un esercizio sullo studio della monotonia di una successione. Sino ad ora sono riuscito a determinare la monotonia, senza però riuscire a calcolare il limite seguendo il teorema della successione estratta ( il limite della mia successione è +oo, se non ho fatto errori!)
ad ogni modo, vi scrivoi miei passaggi sinora svolti:
$a_1>=1, a_(n+1)=sqrt(1+loga_n)$ Procedendo per induzione ho provato che $loga_n<=loga_(n+1) -> 1+loga_n<=1+loga_(n+1)-> sqrt(1+loga_n)<=loga_(n+1)$ così facendo ho provato che esist il limite ed è o il sup della mia successione( un numero reale) oppure +oo.
Tuttavia volevo provare a ricorrere al limite di una successione estratta: infatti se $a_(n+1)->l $ allora anche $a_n->l$ con l appartenente ai reali.
così sostituendo alla formula iniziale trovo: $l=sqrt(1+logl)$ ma adesso non so svolgere questa equazione ( che dovrebbe portare all'assurdo). spero in un vostro intervento. vi ringrazio, alex
edit: inf$a_n=a_0=1$, ma 1 è anche minimo giusto?Un'altra cosa: sono alle prese con un altro esercizio, sempre sul calcolo dei limiti. Vorrei calcolarmi (è una parte del limite dato)$lim x/(log(1+x)-x)$ riconducendomi al limite notevole ( per x->0+). Come faccio a separare $x/(log(1+x))$ da $x/(log(1+x)-x)$ non soltanto in questo caso, ma in generale. Per il prodotto ovviamente non trovo difficoltà, ma per ricondurmi a due somme o a due prodotti....non so se sono stato chiaro
grazie ancora
ad ogni modo, vi scrivoi miei passaggi sinora svolti:
$a_1>=1, a_(n+1)=sqrt(1+loga_n)$ Procedendo per induzione ho provato che $loga_n<=loga_(n+1) -> 1+loga_n<=1+loga_(n+1)-> sqrt(1+loga_n)<=loga_(n+1)$ così facendo ho provato che esist il limite ed è o il sup della mia successione( un numero reale) oppure +oo.
Tuttavia volevo provare a ricorrere al limite di una successione estratta: infatti se $a_(n+1)->l $ allora anche $a_n->l$ con l appartenente ai reali.
così sostituendo alla formula iniziale trovo: $l=sqrt(1+logl)$ ma adesso non so svolgere questa equazione ( che dovrebbe portare all'assurdo). spero in un vostro intervento. vi ringrazio, alex
edit: inf$a_n=a_0=1$, ma 1 è anche minimo giusto?Un'altra cosa: sono alle prese con un altro esercizio, sempre sul calcolo dei limiti. Vorrei calcolarmi (è una parte del limite dato)$lim x/(log(1+x)-x)$ riconducendomi al limite notevole ( per x->0+). Come faccio a separare $x/(log(1+x))$ da $x/(log(1+x)-x)$ non soltanto in questo caso, ma in generale. Per il prodotto ovviamente non trovo difficoltà, ma per ricondurmi a due somme o a due prodotti....non so se sono stato chiaro
grazie ancora
Risposte
Per la prima equazione:
$l=sqrt(i+logl)$ ha soluyzione per $l=1$. Dai grafici vedi che sono tangenti in un punto che sarebbe $(1;1)$ anche se risulta più facile da vedere l'intersezione di $l^2=1+logl$. $l^2$ ha concavità verso l'alto, $1+logl$ verso il basso quindi quello è l'unico punto di tangenza (e comune).
Per l'altro io farei: $x/(log(x+1)-x) = 1/((log(x+1)-x)/x) = 1/((log(x+1))/x-1)$
$l=sqrt(i+logl)$ ha soluyzione per $l=1$. Dai grafici vedi che sono tangenti in un punto che sarebbe $(1;1)$ anche se risulta più facile da vedere l'intersezione di $l^2=1+logl$. $l^2$ ha concavità verso l'alto, $1+logl$ verso il basso quindi quello è l'unico punto di tangenza (e comune).
Per l'altro io farei: $x/(log(x+1)-x) = 1/((log(x+1)-x)/x) = 1/((log(x+1))/x-1)$
grazie Lazar. Per la prima non ho ben capito come procedere. Praticamente dovrei soltanto risolvere l'equazione datami e provare l'assurdo ( se come penso il lim->+oo). Per la seconda...beh...che dire? quando proprio non si vuol vedere la soluzione. Grazie mille, alex
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