Limite di una successione

[alessioben]

$ 0<=|a_n|=|a_n|*a_(n-1)/a_(n-1) < 1/2 |a_(n-1)| $$ n-1 l'esercizio consiste nel dimostrare che $ limx^n/(n!)=0 $ con n che tende a infinito.
Studiando il caso $ a_(n+1) / a_n $ che tende a 0. (considerando la successione dell'esercizio come $ a_n $ )

Pongo
$ epsilon = 1/2, \exists N t.c. \foralln>=N, |a_(n+1)/a_n-0|<1/2 $
poi se prendo $ n>N $ ho $ 0<=|a_n|=|a_n|*a_(n-1)/a_(n-1) < 1/2 |a_(n-1)| $

Innanzitutto non capisco quel 1/2 perché viene moltiplicato per $ |a_(n-1)| $
Poi l'esercizio va avanti per reiterazione facendo $ n-1 non capisco perché.. cioé capisco che sto cercando una successione $ c_n $ da utilizzare con il teorema del confronto, però non capisco come possa aiutare quel caso iniziale sopradescritto.
In pratica non capisco la questione della reiterazione

[Mephlip]

"alessioben":
Innanzitutto non capisco quel 1/2 perché viene moltiplicato per $ |a_(n-1)| $

Se $n>N$, essendo $n,N\in\mathbb{N}$ è $n \ge N+1$. Dunque, è $n-1 \ge N$ e perciò la disuguaglianza corrispondente a $\epsilon=1/2$ vale con $n-1$ al posto di $n$. Ossia, vale $|\frac{a_n}{a_{n-1}}|<1/2$ per ogni $n>N$, perciò per ogni $n>N$ è $|a_n|=|a_{n-1}|\cdot |\frac{a_n}{a_{n-1}}|<\frac{1}{2}|a_{n-1}|$ (ti sei perso un modulo quando moltiplichi e dividi per $a_{n-1}$).

"alessioben":
Poi l'esercizio va avanti per reiterazione facendo $ n-1 non capisco perché.. cioé capisco che sto cercando una successione $ c_n $ da utilizzare con il teorema del confronto, però non capisco come possa aiutare quel caso iniziale sopradescritto.
In pratica non capisco la questione della reiterazione

Dato che vale per ogni $n>N$, vale per $N+1>N$, per $N+2>N$, eccetera fino a $N+k>N$ per ogni $k\in\mathbb{N}$. Reiterando, hai quindi la catena di disuguaglianze:
$$|a_{N+k}|<\frac{1}{2}|a_{N+k-1}|<\frac{1}{2^2}|a_{N+k-2}|<\dots<\frac{1}{2^k}|a_N|$$
Valida per ogni $k\in\mathbb{N}$.
Quindi, hai che $|a_{N+k}|<\frac{1}{2^k}|a_N|$ per ogni $k\in\mathbb{N}$; dunque, dato che $N$ è fissato (è quello della definizione di limite corrispondente a $\epsilon=1/2$), quando $k \to \infty$ risulta $\frac{1}{2^k}|a_N| \to 0$ e hai concluso.

[alessioben]

Grazie mille!

Ho capito, sei statə fantasticə. Precisə e rapidə nella risposta
Buona serata

[pilloeffe]

"alessioben":Ho capito, sei statə fantasticə. Precisə e rapidə nella risposta

Magari lo ha sempre nascosto bene, ma direi che Mephlip è di genere maschile...

[Mephlip]

[ot]Sì, sono un uomo, anche se le mie foto profilo a volte possono fuorviare. [/ot]

[alessioben]

Ah scusami! Per quello che nel dubbio ho usato la e al contrario ahahah