Limite di una successione
Salve, non riesco a risolvere un limite di successione.
$\lim_{n \to \infty} (tg^2 (1/n)) / (1-cos (1/n))$
Suppongo che si debba risolvere con il limite notevole:
$\lim_{n \to \infty} (sen (an)) / (an) $
L'unica cosa che mi viene di fare è scrivere la tangente come rapporto tra seno e coseno, ma non so come proseguire.
Il risultato è 2
$\lim_{n \to \infty} (tg^2 (1/n)) / (1-cos (1/n))$
Suppongo che si debba risolvere con il limite notevole:
$\lim_{n \to \infty} (sen (an)) / (an) $
L'unica cosa che mi viene di fare è scrivere la tangente come rapporto tra seno e coseno, ma non so come proseguire.
Il risultato è 2
Risposte
Nota che $\frac{1}{n} \to 0$ per $n \to +\infty$, quindi puoi applicare i limiti notevoli del seno e del coseno nei quadrati in $\tan^2 (\frac{1}{n})=\frac{\sin^2 (\frac{1}{n})}{\cos^2 (\frac{1}{n})$.
Non ho capito, quale limite notevole dovrei applicare una volta scomposta la tangente?
Hai i due limiti notevoli
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin \left(a_n \right)}{a_n}=1$$
E
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1-\cos \left(a_n \right)}{(a_n)^2}=\frac{1}{2}$$
Entrambi validi se $a_n \to 0$ per $n \to +\infty$.
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin \left(a_n \right)}{a_n}=1$$
E
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{1-\cos \left(a_n \right)}{(a_n)^2}=\frac{1}{2}$$
Entrambi validi se $a_n \to 0$ per $n \to +\infty$.
Ma quindi posso applicare i limiti notevoli anche se le an non sono le stesse successioni, ma tendono entrambe a 0?
Non sono sicuro di aver afferrato bene, provo a fare due esempi.
La successione deve essere la stessa rispettivamente nell'argomento della funzione ed al denominatore, ad esempio va bene
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{1-\cos (e^{-n})}{e^{-2n}}=\frac{1}{2}$$
Mentre non va bene
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{1-\cos (e^{-n})}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}$$
Stesso discorso per il seno, perciò le successioni che usi sono arbitrarie (purché tendano a zero per $n\to+\infty$) ma devono essere le stesse nella forma che vedi del limite notevole (infatti le ho indicate entrambe con $a_n$).
La successione deve essere la stessa rispettivamente nell'argomento della funzione ed al denominatore, ad esempio va bene
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{1-\cos (e^{-n})}{e^{-2n}}=\frac{1}{2}$$
Mentre non va bene
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{1-\cos (e^{-n})}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}$$
Stesso discorso per il seno, perciò le successioni che usi sono arbitrarie (purché tendano a zero per $n\to+\infty$) ma devono essere le stesse nella forma che vedi del limite notevole (infatti le ho indicate entrambe con $a_n$).
Ok tutto chiaro ora, grazie
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