Limite di una successione

[fabiett1]

Non riesco a venire a capo di questi due esercizi:

1) $ lim_(n -> prop ) ((n^2-n-7)/(n^2+2n+2))^(5n) $

2) $ lim_(n -> prop) n*cos((n+1)/(n)*pi/2) $

Nel primo mi sono ricondotto alla forma logaritmica elevando alla base e il testo, ma non riesco a togliere l'indeterminatezza una volta giunto in quella situazione. Per il secondo mi viene in mente solo il teorema del confronto, ma ovviamente non mi porta da nessuna parte.
Mi aiutate perfavore?

[francicko]

Non capisco perche ricorrere alla forma logaritmica, ed al confronto per il secondo;
$lim_(n->infty)n^2× (1-1/n-7/n^2)/(n^2×(1+2/n+2/n^2))$ $=1$
$lim_(n->infty)(n (1+1/n)/n)×(pi)/2$ $=(pi)/2$

[fabiett1]

Chiedo scusa ma nel secondo esercizio ho dimenticato il $cos$ nel testo e nel primo la potenza $5n$. Ora è tutto corretto.
I risultati sono rispettivamente $e^-15$ e $-pi/2$.
Chiedo ancora scusa.

[francicko]

$lim_(n->infty)e^(log((n^2-n-7+3n+9)/(n^2+2n+2)+(-3n-9)/(n^2+2n+2)) ^(5n))$ $=lim_(n->infty)e^(5nlog(1-3/n)) $ $=lim_(n->infty)e^(5n×(-3/n)) $ $=e^(-5×3) $ $=e^(-15) $
Sul secondo non so come fa a risultare $-(pi)/2$, ad occhio viene $0$ , $lim_(n->infty)cos (n (1+1/n)/n×(pi)/2) $ $=lim_(n->infty)cos((pi)/2)=0$

[fabiett1]

Puoi spiegarmi come hai ottenuto $-3/n$ e perché è stato tolto il logaritmo nel terzo passaggio? Grazie

[consec]

Per il secondo

$\lim_ {\n to \infty} n*cos((n/n+1/n)\pi/2)$

$\lim_ {\n to \infty} n*cos(\pi/2+\pi/(2n))$

$\lim_ {\t to \0} (cos(\pi/2+(\pit)/2))/t$

$\lim_ {\t to \0} (cos(\pi/2)cos((\pit)/2)-sen(\pi/2)sen((\pit)/2))/t$

$\lim_ {\t to \0} -\pi/2*((sen((\pit)/2))/((\pit)/2))=-\pi/2$

[francicko]

La quantità $(-3n-9)/(n^2+2n+2)=(n (-3-9/n))/(n^2 (1+2/n+2/n ^2 )) $ semplificando e per $n->infty$ trascurando le quantità che tendono a zero avremo l'asintoticita' :$(-3n-9)/(n^2+2n+2)~-3/n $, quindi sostituendo il nostro limite diventa $lim_(n->infty) e ^ (log (1-3/n)^(5n)) $ $=lim_(n->infty)e^(5nlog(1-3/n)) $, dopodiché dal limite notevole $lim_(x->0)log (1+x)/x=1$ si ha l'asintoticita $log (1+x)~x $, nel nostro caso essendo che $n->infty$ e' $x= -3/n $, e quindi $log (1-3/n)~-3/n $,concludendo abbiamo $lim_(n->infty)e^(5n×(-3/n)) $ $=lim_(n->infty)e^(5×(-3))=e^(-15) $;