Limite di una successione
Non riesco a risolvere il seguente limite: \(\displaystyle lim_{n \to \infty}(1-2+3-4...2n)/(sqrt((n^2)+1)) \)
Premettendo che al denominatore posso raccogliere un n^2 e tirarlo fuori dalla radice per poi semplificare in qualche modo con il numeratore, come interpreto la successione al numeratore? Come risolvo il limite?
Ringrazio chiunque mi risponda
Premettendo che al denominatore posso raccogliere un n^2 e tirarlo fuori dalla radice per poi semplificare in qualche modo con il numeratore, come interpreto la successione al numeratore? Come risolvo il limite?
Ringrazio chiunque mi risponda

Risposte
Il limite ( che chiamo l ), separando i dispari dai pari, lo puoi scrivere così:
$l=lim_{n->oo}{(1+3+5+7+....+(2n-1))-(2+4+6+8+ ---+2n)}/{\sqrt{n^2+1}}$
Per note formule di algebra elementare risulta:
$l=lim_{n->oo}{n^2-n(n+1)}/{\sqrt{n^2+1}}=-lim_{n->oo}n/{sqrt{n^2+1}}=-1$
$l=lim_{n->oo}{(1+3+5+7+....+(2n-1))-(2+4+6+8+ ---+2n)}/{\sqrt{n^2+1}}$
Per note formule di algebra elementare risulta:
$l=lim_{n->oo}{n^2-n(n+1)}/{\sqrt{n^2+1}}=-lim_{n->oo}n/{sqrt{n^2+1}}=-1$
Il termine
\[
1-2+3-4+5-6+\ldots+(2n-1)-2n
\]
e uguale a $-n$, infatti se raggruppi a due a due gli addendi ottieni $1-2=-1$, $3-4=-1$, $5-6=-1$... e così via per $n$ coppie di numeri, così da arrivare fino a $2n$. Quindi la somma di tutti questi termini è $n$ volte $-1$, che è quindi $-n$. Dunque
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{\sqrt{1+n^2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{n}=-1
\]
(perché il denominatore è asintotico a $n$ per $n\to+\infty$).
\[
1-2+3-4+5-6+\ldots+(2n-1)-2n
\]
e uguale a $-n$, infatti se raggruppi a due a due gli addendi ottieni $1-2=-1$, $3-4=-1$, $5-6=-1$... e così via per $n$ coppie di numeri, così da arrivare fino a $2n$. Quindi la somma di tutti questi termini è $n$ volte $-1$, che è quindi $-n$. Dunque
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{\sqrt{1+n^2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{n}=-1
\]
(perché il denominatore è asintotico a $n$ per $n\to+\infty$).