Limite di una successione

strambox
Non riesco a risolvere il seguente limite: \(\displaystyle lim_{n \to \infty}(1-2+3-4...2n)/(sqrt((n^2)+1)) \)

Premettendo che al denominatore posso raccogliere un n^2 e tirarlo fuori dalla radice per poi semplificare in qualche modo con il numeratore, come interpreto la successione al numeratore? Come risolvo il limite?

Ringrazio chiunque mi risponda :D

Risposte
Sk_Anonymous
Il limite ( che chiamo l ), separando i dispari dai pari, lo puoi scrivere così:
$l=lim_{n->oo}{(1+3+5+7+....+(2n-1))-(2+4+6+8+ ---+2n)}/{\sqrt{n^2+1}}$
Per note formule di algebra elementare risulta:
$l=lim_{n->oo}{n^2-n(n+1)}/{\sqrt{n^2+1}}=-lim_{n->oo}n/{sqrt{n^2+1}}=-1$

billyballo2123
Il termine
\[
1-2+3-4+5-6+\ldots+(2n-1)-2n
\]
e uguale a $-n$, infatti se raggruppi a due a due gli addendi ottieni $1-2=-1$, $3-4=-1$, $5-6=-1$... e così via per $n$ coppie di numeri, così da arrivare fino a $2n$. Quindi la somma di tutti questi termini è $n$ volte $-1$, che è quindi $-n$. Dunque
\[
\lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{\sqrt{1+n^2}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-n}{n}=-1
\]
(perché il denominatore è asintotico a $n$ per $n\to+\infty$).

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