Limite di una successione

[qasw1]

Ho difficoltà a risolvere questo esercizio di Analisi 1:
Si calcoli $lim_(ntoinfty)(rootn(n+1)-rootn(n))^(1/ln(n))$

E' una forma indeterminata $[0^0]$, dato che $rootn(n+1)-rootn(n)=rootn(n)(rootn(1+1/n)-1)to1*0=0$
Io ho iniziato in modo ortodosso:
$(rootn(n+1)-rootn(n))^(1/ln(n))=e^(ln(rootn(n+1)-rootn(n))/ln(n))$
Ma non so come proseguire per trovare il limite dell'esponente.
Qualche suggerimento? Grazie

[Sk_Anonymous]

Secondo me si arriva a qualcosa ricordando che \[(a^{n-1} + a^{n-2} b + a^{n-3} b^2 + \dots + b^{n-1})(a-b) = a^n - b^n \]Infatti se \(a=\sqrt[n]{n+1}\) e \(b=\sqrt[n]{n}\) si ha che \[ \sqrt[n]{n+1} - \sqrt[n]{n} = \frac{1}{(n+1)^{\frac{n-1}{n}} + n^{\frac{1}{n}} (n+1)^{\frac{n-2}{n}} + \dots + n^{\frac{n-1}{n}}} \]ed inoltre dall'uguaglianza sopra segue che \[\frac{1}{n^2 (n+1)^{\frac{n-1}{n}}} \le \sqrt[n]{n+1} - \sqrt[n]{n} \le \frac{1}{n \cdot n^{\frac{1}{n}}} \] dove ho usato \[n(n+1)^{\frac{n-1}{n}} \ge n^{\frac{i}{n}} (n+1)^{\frac{n-i-1}{n}}>1, \quad 0 \le i \le n-1 \] e \[n^{\frac{i}{n}} (n+1)^{\frac{n-i-1}{n}} \ge n^{1/n} >1, \quad 0 \le i \le n-1 \]

Prova a vedere se se ne può cavare qualcosa - spero solo di non aver utilizzato maggiorazioni/minorazioni troppo brutali...

[qasw1]

Dopo intensa riflessione, ho trovato un modo che però mi sembra un po' troppo complicato:
fare la sostituzione $rootn(1+1/n)=e^(sigma_n), \ \ \ \ sigma_n=1/n*ln(1+1/n)$.

Così $ln(rootn(n+1)-rootn(n))/ln(n)=$
$=(ln(rootn(n))+ln(rootn(1+1/n)-1))/ln(n)=$
$=ln(rootn(n))/ln(n)+ln(e^(sigma_n)-1)/ln(n)=$
$=1/n+ln((e^(sigma_n)-1)/sigma_n*sigma_n)/ln(n)=$
$=1/n+ln((e^(sigma_n)-1)/sigma_n*1/n*ln(1+1/n))/ln(n)=$
$=1/n+ln((e^(sigma_n)-1)/sigma_n*1/n^2*ln(1+1/n)^n)/ln(n)=$
$=1/n+ln((e^(sigma_n)-1)/sigma_n)/ln(n)+ln(1/n^2)/ln(n)+ln(ln(1+1/n)^n)/ln(n)=$
$=1/n+ln((e^(sigma_n)-1)/sigma_n)/ln(n)-2+ln(ln(1+1/n)^n)/ln(n)to0+0-2+0=-2$

Perciò $lim_(ntoinfty)(rootn(n+1)-rootn(n))^(1/ln(n))=lim_(ntoinfty)e^(ln(rootn(n+1)-rootn(n))/ln(n))=e^-2$

Mah... Spero esista una soluzione più semplice.