Limite di una successione
Ed eccomi qui con la mia prima domandina su un esercizio =)
L'esercizio consiste nel risolvere questo limite, che sicuramente sarà banalissimo, ma non scrivo qui per chiedere la soluzione (la so già) ma piuttosto alcune delucidazioni...
Risolvere il limite, per n tendente all'infinito, di: (1+1/(n^2))^n
Il testo risolve questo esercizio elevando tutto il malloppone prima per 2 e poi per 1/n.
Riscrivendolo tra parente quadre in modo che risulti evidente che la somma contenuta tra parentesi quadre viene ora elevata per n^2, diventando nel complesso uguale a e. E poi tutto questo elevato per 1/n, che essendo n tendente all'infinito varrebbe 0.
La soluzione del limite diventa pertanto e^0=1.
La cosa che io non capisco è come possa elevare prima per 2 e poi per 1/n. Si può fare? Posso arbitrariamente decidere di elevare per ciò che voglio? Senza necessariamente rispettare nessuna regola? In questo caso il testo eleva per 2/n, che supponendo n infinito diventerebbe 0. Posso elevare per zero come voglio? Si, perché risulterebbe come moltiplicare tutto per 1? E' questo il motivo?
L'esercizio consiste nel risolvere questo limite, che sicuramente sarà banalissimo, ma non scrivo qui per chiedere la soluzione (la so già) ma piuttosto alcune delucidazioni...
Risolvere il limite, per n tendente all'infinito, di: (1+1/(n^2))^n
Il testo risolve questo esercizio elevando tutto il malloppone prima per 2 e poi per 1/n.
Riscrivendolo tra parente quadre in modo che risulti evidente che la somma contenuta tra parentesi quadre viene ora elevata per n^2, diventando nel complesso uguale a e. E poi tutto questo elevato per 1/n, che essendo n tendente all'infinito varrebbe 0.
La soluzione del limite diventa pertanto e^0=1.
La cosa che io non capisco è come possa elevare prima per 2 e poi per 1/n. Si può fare? Posso arbitrariamente decidere di elevare per ciò che voglio? Senza necessariamente rispettare nessuna regola? In questo caso il testo eleva per 2/n, che supponendo n infinito diventerebbe 0. Posso elevare per zero come voglio? Si, perché risulterebbe come moltiplicare tutto per 1? E' questo il motivo?
Risposte
Puo' essere che il testo abbia usato la identita'...
$(1+\frac{1}{n^2})^{n}= \{(1+\frac{1}{n^{2}})^{n^{2}}\}^{\frac{1}{n}}$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$(1+\frac{1}{n^2})^{n}= \{(1+\frac{1}{n^{2}})^{n^{2}}\}^{\frac{1}{n}}$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Si, ha fatto proprio questo. (Purtroppo io non so ancora usare nessun programma o utility per scrivere correttamente le formule, quindi mi dispiace che il mio messaggio non fosse troppo chiaro).
Ma la mia domanda è:
Lo fa, e lo può fare, perché elevare ulteriormente per 2^(1/n) equivale a moltiplicare per 1?
Ma la mia domanda è:
Lo fa, e lo può fare, perché elevare ulteriormente per 2^(1/n) equivale a moltiplicare per 1?
Perché dici "elevare a $2^(1/n)$"? Semmai ha elevato a $n/n$ (quindi a 1) e ha risistemato le cose in modo da far venire il limite notevole.
Perché ha usato appunto l'identità che ha scritto chisigma, quindi da tutto il malloppo elevato a n è passato a tutto il malloppo elevato a n^2^(1/n). No?
Ha elevato tutto per 2, e poi ulteriormente tutto per 1/n, no?
2^(1/n), con n tendente a infinito, dovrebbe tendere a 2^0, quindi equivalere a 1. No?
Ha elevato tutto per 2, e poi ulteriormente tutto per 1/n, no?
2^(1/n), con n tendente a infinito, dovrebbe tendere a 2^0, quindi equivalere a 1. No?
No, ti consiglierei di ripassarti le proprietà delle potenze...
Il malloppo è sempre elevato alla stessa roba. L'esponente iniziale è $n$,
quello finale è $n * n/n = n^2/n = n^2 * 1/n$, dopodiché ha usato la proprietà che $(a^b)^c = a^(bc)$.
Il malloppo è sempre elevato alla stessa roba. L'esponente iniziale è $n$,
quello finale è $n * n/n = n^2/n = n^2 * 1/n$, dopodiché ha usato la proprietà che $(a^b)^c = a^(bc)$.
Ora ho capito!
Grazie Fireball!
Grazie Fireball!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo