Limite di una sommatoria: metodo delle somme di Riemann
Salve a tutti,
ho un esercizio che chiede:
"Calcolare il seguente limite con il metodo delle somme di Riemann":
$ lim_(n -> oo ) sum_(k = 1)^(n) (1/n)(-lnk+lnn) $
Ci sarebbe qualcuno così gentile da spiegarmi come si applica questo metodo? Grazie
ho un esercizio che chiede:
"Calcolare il seguente limite con il metodo delle somme di Riemann":
$ lim_(n -> oo ) sum_(k = 1)^(n) (1/n)(-lnk+lnn) $
Ci sarebbe qualcuno così gentile da spiegarmi come si applica questo metodo? Grazie
Risposte
Puoi ricondurre quel limite al valore di un integrale di Riemann, infatti quest'ultimo è definito come limite di una somma. Devi dividere l'intervallo 0-1 in n piccoli segmentini e capire qual è la funzione integranda. Dai che non è difficile.
in parole povere devo ritornare indietro all'integrale tra 0 e 1 giusto?
Ho provato a fare nel seguente modo:
il limite della sommatoria l'ho spezzato in $ lim_(n -> oo ) sum_(k = 1)^(n) (lnn)/n + lim_(n -> oo ) sum_(k = 1)^(n) (lnk)/n $
quindi lavorando sul secondo l'ho ricondotto all'integrale $ int_(0)^(1) lnx dx $ che ho risolto per parti.
E' corretto?
il limite della sommatoria l'ho spezzato in $ lim_(n -> oo ) sum_(k = 1)^(n) (lnn)/n + lim_(n -> oo ) sum_(k = 1)^(n) (lnk)/n $
quindi lavorando sul secondo l'ho ricondotto all'integrale $ int_(0)^(1) lnx dx $ che ho risolto per parti.
E' corretto?
Si ma la prima sommatoria?
nella successione della prima sommatoria non compare la k quindi ho concluso di poter fare direttamente $ lim_(n -> oo ) (lnn)/n $ che tende a zero. E' sbagliato?
Io sinceramente non sono d'accordo con il risultato: le somme di Riemann, definite su un intervallo equipartizionato al modo seguente
[tex]$0=x_0
andrebbero scritte come
[tex]$S(f,n)=\sum_{k=0}^{n-1} f(c_k)(x_{k+1}-x_k),\qquad c_k\in(x_k,x_{k+1}]$[/tex]
Possiamo pensare allora che [tex]$f(x)=\log x,\ c_k=x_{k+1}=\frac{k+1}{n},\ x_{k+1}-x_k=\frac{1}{n}$[/tex] e pertanto
[tex]$S(\log x,n)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\cdot \log\frac{k+1}{n}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\log\frac{k}{n}=\sum_{k=1}^n\frac{\log k-\log n}{n}$[/tex]
Ne segue che, essendo [tex]$\int_0^1\log x\ dx=\lim_{n\to+\infty} S(\log x,n)$[/tex] il tuo limite coincide con
[tex]$-\int_0^1\log x\ dx=-\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\log x\ dx=-\lim_{a\to 0^+}\left[x\log x\big|_a^1-\int_a^1 dx\right]=\lim_{a\to 0^+}(1-a)=1$[/tex]
P.S.: in quello che scrivi sulla prima sommatoria, commetti un errore: infatti
[tex]$\sum_{k=1}^\frac{\log n}{n}=\frac{\log n}{n}\sum_{k=1}^n 1=\frac{\log n}{n}\cdot n=\log n$[/tex]
che come vedi tende a infinito e che, se venisse considerato, porterebbe a problemi di definizione dell'integrale di Riemann (che viene definito per funzioni limitate su intervalli limitati, mentre quello che stai usando è, difatto, un integrale improprio).
[tex]$0=x_0
andrebbero scritte come
[tex]$S(f,n)=\sum_{k=0}^{n-1} f(c_k)(x_{k+1}-x_k),\qquad c_k\in(x_k,x_{k+1}]$[/tex]
Possiamo pensare allora che [tex]$f(x)=\log x,\ c_k=x_{k+1}=\frac{k+1}{n},\ x_{k+1}-x_k=\frac{1}{n}$[/tex] e pertanto
[tex]$S(\log x,n)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\cdot \log\frac{k+1}{n}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{n}\log\frac{k}{n}=\sum_{k=1}^n\frac{\log k-\log n}{n}$[/tex]
Ne segue che, essendo [tex]$\int_0^1\log x\ dx=\lim_{n\to+\infty} S(\log x,n)$[/tex] il tuo limite coincide con
[tex]$-\int_0^1\log x\ dx=-\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\log x\ dx=-\lim_{a\to 0^+}\left[x\log x\big|_a^1-\int_a^1 dx\right]=\lim_{a\to 0^+}(1-a)=1$[/tex]
P.S.: in quello che scrivi sulla prima sommatoria, commetti un errore: infatti
[tex]$\sum_{k=1}^\frac{\log n}{n}=\frac{\log n}{n}\sum_{k=1}^n 1=\frac{\log n}{n}\cdot n=\log n$[/tex]
che come vedi tende a infinito e che, se venisse considerato, porterebbe a problemi di definizione dell'integrale di Riemann (che viene definito per funzioni limitate su intervalli limitati, mentre quello che stai usando è, difatto, un integrale improprio).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo