Limite di una serie geometrica
Salve, sono davanti ad una prova di esame e mi trovo davanti a questo problema.
Per ogni n appartenente a N, n >= 1, sia
Limite di an/n
Non abbiamo mai visto una cosa del genere a lezione. Cosa devo fare per risolverla??
Per ogni n appartenente a N, n >= 1, sia
Limite di an/n
Non abbiamo mai visto una cosa del genere a lezione. Cosa devo fare per risolverla??
Risposte
Mi spiace ma il tuo messaggio è incomprensibile.
Dipende dalla forma della successione $a_n$
PS: Usa i codici per esprimere le formule
PS: Usa i codici per esprimere le formule
Allora. Provo spero di non fare un pasticcio
Per ogni n appartenente a N, n >= 1, sia
$a_n$ = inf ( x appartenente R : $ (| x - log (1/n) | )/(|2x-n|)$ >= 1 )
Il limite non riesco a scriverlo:
Limite (a_n)/n
n-> +infinito
Per ogni n appartenente a N, n >= 1, sia
$a_n$ = inf ( x appartenente R : $ (| x - log (1/n) | )/(|2x-n|)$ >= 1 )
Il limite non riesco a scriverlo:
Limite (a_n)/n
n-> +infinito
"shaducci":
Salve, sono davanti ad una prova di esame e mi trovo davanti a questo problema.
Per ogni n appartenente a N, n >= 1, sia
Limite di an/n
Non abbiamo mai visto una cosa del genere a lezione. Cosa devo fare per risolverla??
Se questo è tutto il testo, il testo è sbagliato.
Prima e dopo questo testo c'è scritto altro?
Non sarà che devi spiegare quando converge diverge o è indeterminata la successione $a_n/n$ in base alle ipotesi che $a_n$ sia divergente convergente o indeterminata?
Scusate se non sono riuscito a scrivere il limite. Alla quarta volta mi sono arreso. Ho fatto un pastrocchio. Spero sia comprensibile.
Scusate se non sono riuscito a scrivere il limite. Alla quarta volta mi sono arreso. Ho fatto un pastrocchio. Spero sia comprensibile.
"shaducci":
Allora. Provo spero di non fare un pasticcio
Per ogni $n in NN$, con $n >= 1$, sia
$a_n = "inf"{x in RR " tali che " (|x-log(1/n)|)/(|2x-n|) >= 1}$ . Si calcoli $ lim_(n to +oo) (a_n)/n$.
E' questo il problema?
SI!!!
...poi mi spiegate come usare TeX per il limite?...
...poi mi spiegate come usare TeX per il limite?...
Per la scrittura con MathML basta che passi il mouse sopra alle formule nel mio precedente messaggio.
Quanto al problema, che cosa hai fatto tu? Idee?
Per cominciare, devi risolvere quella disequazione in $x$, considerando $n$ come un parametro (naturale, strettamente positivo). Sei capace? Dividi in due casi, data la presenza del modulo...
P.S. Che cosa studi? E' un corso universitario? Se sì quale? Scusa se ti faccio queste domande, non voglio essere invadente, ma è necessario conoscere quali sono i tuoi strumenti/che cosa conosci etc...
Quanto al problema, che cosa hai fatto tu? Idee?
Per cominciare, devi risolvere quella disequazione in $x$, considerando $n$ come un parametro (naturale, strettamente positivo). Sei capace? Dividi in due casi, data la presenza del modulo...
P.S. Che cosa studi? E' un corso universitario? Se sì quale? Scusa se ti faccio queste domande, non voglio essere invadente, ma è necessario conoscere quali sono i tuoi strumenti/che cosa conosci etc...
Allora io ho 0 idee.
Faccio scienze statistiche e sono iscritto al primo anno. Vengo da ragioneria, quindi ho molte difficoltà in matematica. Però sono sicuro che con l'impegno ne verrò fuori.
Il professore dice che è un esercizio dove dobbiamo mettere insieme conoscenze diverse. Ma come faccio a risolverlo se non ne ho mai visto uno simile in vita mia?
Quello che ho capito dall'esercizio è:
$a_n$ è una successione.
E tutto l'armamentario dentro parentesi ho ipotizzato fosse l'estremo inferiore della suddetta. Ma ciò non spiega la presenza del limite.
Questa idea l'ho esclusa perchè la trovato inconcludente.
Quindi ho iniziato a ragionare alla rovescia:
devo calcolare il limite. Mi serve $a_n$ e $n$
$n$ posso ricavarlo dall'armamentario dentro la parentesi ma anche questa ipotesi risultava inconcludente in quanto mi rimaneva lo scoglio della $x$.
E così ho scritto sul Forum.
No, non ho idea di come svolgere l'esercizio.
So che non è compito vostro svolgere l'esercizio, e so che questo sito non è un corso di matematica a pagamento, ma solamente un forum dove "amici" bravi, aiutano altri meno bravi.
E dando per scontato che voi siate amici "simpatici", così come scrive l'admin, quello che vi chiedo è indirizzarmi verso la strada della soluzione. Magari riesco...
Vi ringrazio
Federico
Faccio scienze statistiche e sono iscritto al primo anno. Vengo da ragioneria, quindi ho molte difficoltà in matematica. Però sono sicuro che con l'impegno ne verrò fuori.
Il professore dice che è un esercizio dove dobbiamo mettere insieme conoscenze diverse. Ma come faccio a risolverlo se non ne ho mai visto uno simile in vita mia?
Quello che ho capito dall'esercizio è:
$a_n$ è una successione.
E tutto l'armamentario dentro parentesi ho ipotizzato fosse l'estremo inferiore della suddetta. Ma ciò non spiega la presenza del limite.
Questa idea l'ho esclusa perchè la trovato inconcludente.
Quindi ho iniziato a ragionare alla rovescia:
devo calcolare il limite. Mi serve $a_n$ e $n$
$n$ posso ricavarlo dall'armamentario dentro la parentesi ma anche questa ipotesi risultava inconcludente in quanto mi rimaneva lo scoglio della $x$.
E così ho scritto sul Forum.
No, non ho idea di come svolgere l'esercizio.
So che non è compito vostro svolgere l'esercizio, e so che questo sito non è un corso di matematica a pagamento, ma solamente un forum dove "amici" bravi, aiutano altri meno bravi.
E dando per scontato che voi siate amici "simpatici", così come scrive l'admin, quello che vi chiedo è indirizzarmi verso la strada della soluzione. Magari riesco...
Vi ringrazio
Federico
Capisco, Federico, capisco.
Be', tranquillo, se vuoi ti diamo una mano per risolvere l'esercizio, che non è proprio banale, almeno per chi è all'inizio.
Cominciamo.
Allora, immagino tu sappia che cos'è una successione numerica, no? E sai che cosa vuol dire trovare il limite di una successione: giusto? Ci sei fin qui?
Be', tranquillo, se vuoi ti diamo una mano per risolvere l'esercizio, che non è proprio banale, almeno per chi è all'inizio.
Cominciamo.
Allora, immagino tu sappia che cos'è una successione numerica, no? E sai che cosa vuol dire trovare il limite di una successione: giusto? Ci sei fin qui?
Oh, certo per $a_n$ si intende per esempio $=( 1,2,3,4... )$ oppure $a_n = 2n+1$ serie che comprende tutti i valori "discreti" della retta $y=2x+1$, insomma per quello so una successione è un insieme di numeri da $ N -> N,Z,Q,R $
Calcolare un limite so farlo. O meglio, sto imparando. Ho ancora qualche difficoltà con quelli più complicati e quando vengono chiamati in causa cambi di variabili, allora lì inizio a vacillare e posso cadere in qualche errore. Spesso algebrico.
Detto questo, riassumendo e tirando due somme: sì, ci sono!
...spero...
Calcolare un limite so farlo. O meglio, sto imparando. Ho ancora qualche difficoltà con quelli più complicati e quando vengono chiamati in causa cambi di variabili, allora lì inizio a vacillare e posso cadere in qualche errore. Spesso algebrico.
Detto questo, riassumendo e tirando due somme: sì, ci sono!
...spero...
Molto bene. Preciso che una successione è una funzione da $NN$ in $RR$ (o in qualche altro insieme), ma vedo che a livello "pratico" comunque ci sei.
Ascolta, mettiamo da parte un attimo le successioni, ci torniamo su dopo. La prima cosa che devi fare è risolvere la disequazione, trattando $n$ come un numero. Sei capace? Immagino alle superiori ne avrai fatte un po'...
Ascolta, mettiamo da parte un attimo le successioni, ci torniamo su dopo. La prima cosa che devi fare è risolvere la disequazione, trattando $n$ come un numero. Sei capace? Immagino alle superiori ne avrai fatte un po'...
Se ho capito quello che devo fare sì. Ci provo a scrivo il risultato.
Però è possibile sapere il perchè di questo procedimento e cosa più importante di che esercizio si tratta?
Però è possibile sapere il perchè di questo procedimento e cosa più importante di che esercizio si tratta?
Sì, certo che ti spiego il perchè.
Praticamente, l'esercizio funziona così. Ti danno un insieme che è quello formato da tutti gli $x$ che verificano quella disequazione lì. Quella lì, però, non è una disequazione numerica, è letterale: troverai quindi come risultato dei numeri che dipendono da $n$. In pratica, se risolvi la disequazione (è per questo che aspettavo a spiegarti il perchè) trovi una roba del tipo $-n
Allora, una volta che abbiamo trovato il nostro insieme, ne facciamo l'$"inf"$, che chiaramente sarà una roba che dipende solo da $n$. Ebbene, quello sarà il termine $n-$esimo della nostra successione $(a_n)$: e l'esercizio è praticamente finito, basta calcolare il limite per $n to +oo$ di $a_n/n$.
Più chiaro, Fede?
Praticamente, l'esercizio funziona così. Ti danno un insieme che è quello formato da tutti gli $x$ che verificano quella disequazione lì. Quella lì, però, non è una disequazione numerica, è letterale: troverai quindi come risultato dei numeri che dipendono da $n$. In pratica, se risolvi la disequazione (è per questo che aspettavo a spiegarti il perchè) trovi una roba del tipo $-n
Allora, una volta che abbiamo trovato il nostro insieme, ne facciamo l'$"inf"$, che chiaramente sarà una roba che dipende solo da $n$. Ebbene, quello sarà il termine $n-$esimo della nostra successione $(a_n)$: e l'esercizio è praticamente finito, basta calcolare il limite per $n to +oo$ di $a_n/n$.
Più chiaro, Fede?
Devi risolvere prima la disequazione indicata da Paolo per poter conoscere la forma di $a_n$
Più chiaro sì, ma non limpido purtroppo.
Vi dico cosa ho fatto, sperando di non incasinarmi con il linguaggio:
Prima di tutto ho portato il secondo membro al primo ed ho fatto il minimo comune multiplo. Dopo di che ho studiato il segno dei due(3) moduli e mi sono trovato 3 intervalli. Ho calcolato per X e quando ho avuto difficoltà per sapere "qual'è il più grande" ho pensato "n" come se valesse "1", per facilità di calcolo.
Ho pensato:
Se n è >= 1, non per i miei calcoli sulle disequazioni se reputo n=1 o n=2, le grandezze dovrebbero rimanere proporzionate.
Mi spiego. Ho trovato difficoltoso sapere: è più grande $log(1/n)$ o $n/2$?
Se il ragionamento che ho fatto e se i calcoli vanno bene il risultato che ho ottenuto è il seguente:
$[(log(1/n+n)/3, n/2[$ U $]n/2, log(1/n+n)]$
Vi dico cosa ho fatto, sperando di non incasinarmi con il linguaggio:
Prima di tutto ho portato il secondo membro al primo ed ho fatto il minimo comune multiplo. Dopo di che ho studiato il segno dei due(3) moduli e mi sono trovato 3 intervalli. Ho calcolato per X e quando ho avuto difficoltà per sapere "qual'è il più grande" ho pensato "n" come se valesse "1", per facilità di calcolo.
Ho pensato:
Se n è >= 1, non per i miei calcoli sulle disequazioni se reputo n=1 o n=2, le grandezze dovrebbero rimanere proporzionate.
Mi spiego. Ho trovato difficoltoso sapere: è più grande $log(1/n)$ o $n/2$?
Se il ragionamento che ho fatto e se i calcoli vanno bene il risultato che ho ottenuto è il seguente:
$[(log(1/n+n)/3, n/2[$ U $]n/2, log(1/n+n)]$
Non riesco a scriverlo meglio di così...spero sia chiaro... l'intervallo dal primo log al secondo log escluso $n/2$
Mmmm, sì, più o meno ci siamo. Eh, la domanda che ti sei posto non è banale. Ma c'è un trucchetto: il metodo grafico. Ad esempio, per capire se è più grande $n+logn$ o $n/2$ puoi rappresentare graficamente la disequazione: $n+log n < n/2 iff log n < -n/2$: quindi "fai finta di avere una $x$", disegni nel piano cartesiano $log x$ e $-x /2$ e guardi dove la retta sta sopra al logaritmo: in quell'intervallo sarà più grande $n/2$, ad esempio.
Hai capito? In ogni caso, ho fatto i conti e io trovo: $[1/3(n-logn), n/2) uu (n/2, n+logn]$ (ricordati che $log(1/n)=-log(n)$).
Al di là dei conti, mi sapresti dire chi è l'inf di questo insieme? (in realtà non è solo un inf, è proprio un min...)
Forza Fede, continua così, che ci sei quasi
Hai capito? In ogni caso, ho fatto i conti e io trovo: $[1/3(n-logn), n/2) uu (n/2, n+logn]$ (ricordati che $log(1/n)=-log(n)$).
Al di là dei conti, mi sapresti dire chi è l'inf di questo insieme? (in realtà non è solo un inf, è proprio un min...)
Forza Fede, continua così, che ci sei quasi
Il minimo è $1/3(n-log(n)$
[ I miei conti erano giusti!!! ]
Se ho ragione ho una domanda. Se so che n >= 1. Perchè invece di risolvere tutta la disequazione non sostituisco direttamente l'uno?Non da lo stesso risultato?
[ I miei conti erano giusti!!! ]
Se ho ragione ho una domanda. Se so che n >= 1. Perchè invece di risolvere tutta la disequazione non sostituisco direttamente l'uno?Non da lo stesso risultato?
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