Limite di una radice

jackqueen
salve a tutti, chi mi può spiegare perchè $ lim_(n -> oo) nsqrt(2^n+3^n)=3 $ .
Non riesco davvero a capire.

Risposte
theras
C'è un evidente errore di stampa nel testo:
quella successione diverge positivamente..
Saluti dal web.

jackqueen
Ma anche su Derive mi viene dato che il limite ha come risultato 3 :shock:
Il mio libro lo fa così: $ (2^n+3^n)=3^n(2^n/3^n+1) $
da qui asserisce che: $ lim_(n -> oo) n_sqrt(2^n+3^n)=lim_(n ->oo) n_sqrt(3^n(2^n/3^n+1))=lim_(n ->oo)3(n_sqrt(2^n/3^n+1)) => $
$ => lim_(n -> oo) n_sqrt(2^n/3^n+1)=1 $ e quindi $ => lim_(n -> oo) n_sqrt(2^n+3^n)=3 $.

Quello che non capisco è perchè $ lim_(n -> oo) n_sqrt(2^n/3^n+1)=1 $

Brancaleone1
"jack_queen":
Ma anche su Derive mi viene dato che il limite ha come risultato 3 :shock:

No, Derive restituisce giustamente $+oo$

EDIT:
"jack_queen":

[...]
da qui asserisce che: $ lim_(n -> oo) n sqrt(2^n+3^n)=lim_(n ->oo) n sqrt(3^n(2^n/3^n+1))=lim_(n ->oo)3(n sqrt(2^n/3^n+1))$
[...]

L'ultimo passaggio non l'ho capito

theras
@J_q.
Per scrivere la radice $n$-esima d'una funzione $f(x)$ basta mettere tra i segni di dollaro statunitense il codice root(n)f(x);
ciò detto osserva che $EElim_(n to oo)(2^n)/(3^n)=lim_(n to oo)(2/3)^n=0"(perchè "2/3<1..")"rArr EElim_(n to oo)[ (2/3)^n+1]^(1/n)=(0+1)^0=1^0=1$:
noto infine che,volendo,potevi procedere ricordando il corollario al teorema della media geometrica,
i.e. che $EElim_(n to oo)(a_(n+1))/(a_n)=l rArr EE lim_(n to oo)(a_n)^(1/n)=l$
(con $l$ al più coincidente coi simboli $+oo,-oo$,lo dico per completezza..)!
Saluti dal web.

Brancaleone1
Ah aspetta, il limite non è questo che hai scritto all'inizio:

"jack_queen":
salve a tutti, chi mi può spiegare perchè $ lim_(n -> oo) nsqrt(2^n+3^n)=3 $ .
Non riesco davvero a capire.


ma intendevi

$lim_(n -> oo) root(n)(2^n+3^n)$

giusto?

Allora si capisce il procedimento del libro:

$(2^n+3^n)=3^n(2^n/3^n+1)$

$=>lim_(n -> oo) root(n)(2^n+3^n)=lim_(n ->oo) root(n)(3^n(2^n/3^n+1))=lim_(n ->oo)3 root(n)(2^n/3^n+1)$

Tenendo conto che

$lim_(n -> oo) root(n)(2^n/3^n+1)=1$

si ha

$ => lim_(n -> oo) 3root(n)(2^n/3^n+1)=3 $.

"jack_queen":
Quello che non capisco è perchè $lim_(n -> oo) root(n)(2^n/3^n+1)=1$


$lim_(n -> oo) root(n)(2^n/3^n+1)=(2^n/3^n+1)^(1/n)=((+oo text( di ordine ) alpha)/(+oo text( di ordine ) alpha) +1)^(0 text( di ordine 1))=(l)^0=1$

EDIT: correggo

jackqueen
Esatto Brancaleone...scusatemi ma non sapevo davvero come aggiungere la $root(n)$ :oops:
Grazie mille per la spiegazione e ultima cosa, nel passaggio che porta a dire che $(+oo)/(+oo)$ utilizzi l'hopital ?

Noisemaker
Non puoi applicare De l'Hopital alle successioni, almeno per la formulazione classica. Il problema con De l'Hopital non riguarda tanto il fatto che una successione è definita su $\mathbb{N},$ essendo $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}.$ Il problema è che De l'Hopital richiede la derivabilità delle funzioni cui si applica, e successioni e derivabilità non vanno d'accordo :wink:

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