Limite di una lunghezza in coordinate polari
Il professore di analisi 2 ci ha assegnato questo esercizio:
Sia L(x) la lunghezza della curva espressa in coordinate polari da ρ(θ)=e^(−3θ), al variare di θ∈[0,x].
Calcolare lim L(x) per x che tende a infinito.
Non riesco a capire come faccia a risultare 1.05 dal momento che a me viene solo 1 in quanto e^(-infinito) mi viene sempre 0.
Riuscite ad aiutarmi? grazie
Sia L(x) la lunghezza della curva espressa in coordinate polari da ρ(θ)=e^(−3θ), al variare di θ∈[0,x].
Calcolare lim L(x) per x che tende a infinito.
Non riesco a capire come faccia a risultare 1.05 dal momento che a me viene solo 1 in quanto e^(-infinito) mi viene sempre 0.
Riuscite ad aiutarmi? grazie
Risposte
Ciao mapolluz,
Sì... La lunghezza di una curva in coordinate polari è data dalla formula seguente:
$mathcal L = int_{\theta_1}^{theta_2} sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2 } d\theta $
Nel tuo caso $\rho(\theta) = e^{- 3\theta} $, $\theta_1 = 0 $ e $\theta_2 = x $, per cui si ha:
$mathcal L (x) = int_{0}^{x} sqrt{[-3 e^{- 3\theta}]^2 + [e^{- 3\theta} ]^2 } d\theta = int_{0}^{x} sqrt{10 e^{- 6\theta}} d\theta = sqrt{10} int_{0}^{x} e^{- 3\theta} d\theta = $
$ = sqrt{10} [frac{e^{- 3\theta}}{- 3}]_0^x = sqrt{10} [frac{e^{- 3x}}{- 3} + 1/3] = sqrt{10} (1/3 - frac{e^{- 3x}}{3}) $
Quindi si ha:
$mathcal L (+\infty) := lim_{x \to +\infty} mathcal L (x) = sqrt{10}/3 $
"mapolluz":
Riuscite ad aiutarmi?
Sì... La lunghezza di una curva in coordinate polari è data dalla formula seguente:
$mathcal L = int_{\theta_1}^{theta_2} sqrt{[\rho'(\theta)]^2 + [\rho(\theta)]^2 } d\theta $
Nel tuo caso $\rho(\theta) = e^{- 3\theta} $, $\theta_1 = 0 $ e $\theta_2 = x $, per cui si ha:
$mathcal L (x) = int_{0}^{x} sqrt{[-3 e^{- 3\theta}]^2 + [e^{- 3\theta} ]^2 } d\theta = int_{0}^{x} sqrt{10 e^{- 6\theta}} d\theta = sqrt{10} int_{0}^{x} e^{- 3\theta} d\theta = $
$ = sqrt{10} [frac{e^{- 3\theta}}{- 3}]_0^x = sqrt{10} [frac{e^{- 3x}}{- 3} + 1/3] = sqrt{10} (1/3 - frac{e^{- 3x}}{3}) $
Quindi si ha:
$mathcal L (+\infty) := lim_{x \to +\infty} mathcal L (x) = sqrt{10}/3 $
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi Superiore.[/xdom]
Quindi era solo una formula da applicare per la lunghezza diversa dalle curve espresse con funzioni in forma normale che non ricordavo! Grazie infinite pilloeffe!!
Ti disturbo ancora un attimo; in questo esercizio:
Sia RR la regione del piano delimitata dalle curve y=x^2,y=x^2/4,xy=2,xy=5. Determinare l'area di RR.
(sugg: fare il cambiamento di variabile u=y/x^2,v=xy)
Una volta che faccio la sostituzione e pertanto cambio gli estremi di integrazioni, cosa devo fare?
cioè calcolo l'integrale di 1 sul nuovo dominio? O la funzione da integrare è diversa?
Ti disturbo ancora un attimo; in questo esercizio:
Sia RR la regione del piano delimitata dalle curve y=x^2,y=x^2/4,xy=2,xy=5. Determinare l'area di RR.
(sugg: fare il cambiamento di variabile u=y/x^2,v=xy)
Una volta che faccio la sostituzione e pertanto cambio gli estremi di integrazioni, cosa devo fare?
cioè calcolo l'integrale di 1 sul nuovo dominio? O la funzione da integrare è diversa?
Ciao mapolluz,
La seconda che hai detto... Infatti si ha:
$ R := \{(x, y) \in \RR_{>0}: x^2/4 \le y le x^2, 2 \le xy \le 5 \} $
Con le posizioni suggerite $u := y/x^2 $ e $v := xy $ si ha:
$R' := \{(u, v) \in \RR_{>0}: 1/4 \le u le 1, 2 \le v \le 5 \} $
$ x = x(u, v) = root[3]{v/u} $
$ y = y(u, v) = root[3]{uv^2} $
Quindi si ha:
$ int int_{R} dxdy = int int_{R'} |J|dudv $
ove $|J| $ è il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione di cui sopra.
"mapolluz":
cioè calcolo l'integrale di 1 sul nuovo dominio? O la funzione da integrare è diversa?
La seconda che hai detto... Infatti si ha:
$ R := \{(x, y) \in \RR_{>0}: x^2/4 \le y le x^2, 2 \le xy \le 5 \} $
Con le posizioni suggerite $u := y/x^2 $ e $v := xy $ si ha:
$R' := \{(u, v) \in \RR_{>0}: 1/4 \le u le 1, 2 \le v \le 5 \} $
$ x = x(u, v) = root[3]{v/u} $
$ y = y(u, v) = root[3]{uv^2} $
Quindi si ha:
$ int int_{R} dxdy = int int_{R'} |J|dudv $
ove $|J| $ è il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione di cui sopra.
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