Limite di una funzione in due variabili
Salve non sono sicuro del mio calcolo di un limite di una funzione in due variabili.
Ho la seguente funzione $f(x,y)= log( 1 + x^2 - y^2) $ devo svolgere il $ lim_(x,y -> <+oo>) log( 1 + x^2 - y^2) $
se vado in coordinate polari trovo che l'argomento del logaritmo diventa $ 1 + p^2( cos^2 (a) - sen^2(a))$ con $a$ l'angolo.
$p$ tende a $+oo$ mentre l'angolo varia tra $[0,2pi]$ perciò a seconda dell'angolo la funzione tende a $+oo$, $-oo$ oppure $0$. Poiché il limite non è unico esso non esiste.
Il ragionamento è questo oppure è sbagliato?
Ho la seguente funzione $f(x,y)= log( 1 + x^2 - y^2) $ devo svolgere il $ lim_(x,y -> <+oo>) log( 1 + x^2 - y^2) $
se vado in coordinate polari trovo che l'argomento del logaritmo diventa $ 1 + p^2( cos^2 (a) - sen^2(a))$ con $a$ l'angolo.
$p$ tende a $+oo$ mentre l'angolo varia tra $[0,2pi]$ perciò a seconda dell'angolo la funzione tende a $+oo$, $-oo$ oppure $0$. Poiché il limite non è unico esso non esiste.
Il ragionamento è questo oppure è sbagliato?
Risposte
Direi che è giusto. Aggiungo anche che se $alpha=pi/2$, allora la funzione non è proprio definita (logaritmo di un numero negativo)
Ma ti pare possibile che queste [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$[/tex] siano le coordinate di un intorno di infinito???? Le coordinate polari, nell'intorno di un punto [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] assumono, in generale, la forma [tex]$x=x_0+\rho\cos\theta,\ y=y_0+\rho\sin\theta$[/tex]. Ti pare che tu possa sostituire a [tex]$x_0,\ y_0$[/tex] il "valore" $+\infty$????
perciò tu come lo risolveresti?
Userei il seguente cambiamento di coordinate: [tex]$x=\frac{1}{X},\ y=\frac{1}{Y}$[/tex] in modo da ricondurlo al limite seguente:
[tex]$\lim_{(X,Y)\to(0^+,0^+)}\log\left(1+\frac{1}{X^2}-\frac{1}{Y^2}\right)=\lim_{(X,Y)\to(0^+,0^+)}\log\left(\frac{X^2 Y^2+Y^2-X^2}{X^2 Y^2}\right)$[/tex]
e qui userei le coordinate polari.
P.S.: la cosa però che mi sconvolge e che tu non ti sia posta la domanda di chiedermi "perché il metodo che hai usato sia errato". Mi auguro che questo dipenda dal fatto che hai capito, da solo/a l'errore, e non che stai soltanto cercando un'imbeccata.
[tex]$\lim_{(X,Y)\to(0^+,0^+)}\log\left(1+\frac{1}{X^2}-\frac{1}{Y^2}\right)=\lim_{(X,Y)\to(0^+,0^+)}\log\left(\frac{X^2 Y^2+Y^2-X^2}{X^2 Y^2}\right)$[/tex]
e qui userei le coordinate polari.
P.S.: la cosa però che mi sconvolge e che tu non ti sia posta la domanda di chiedermi "perché il metodo che hai usato sia errato". Mi auguro che questo dipenda dal fatto che hai capito, da solo/a l'errore, e non che stai soltanto cercando un'imbeccata.
"ciampax":Io pensavo che si potesse fare tendere $rho$ a $+oo$
Ma ti pare possibile che queste [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$[/tex] siano le coordinate di un intorno di infinito???? Le coordinate polari, nell'intorno di un punto [tex]$(x_0,y_0)$[/tex] assumono, in generale, la forma [tex]$x=x_0+\rho\cos\theta,\ y=y_0+\rho\sin\theta$[/tex]. Ti pare che tu possa sostituire a [tex]$x_0,\ y_0$[/tex] il "valore" $+\infty$????
Ma la $\theta$? Osserva che quella rappresenta la direzione da cui ti avvicini a $(+\infty,+\infty)$ e quindi, chiedo: quali sono queste direzioni???
Ok, ho capito. Avevo letto male il limite all'inizio. Ora è chiaro. Grazie 
Ok Ciampax credo di aver capito il mio errore. Grazie molte per i consigli 
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