Limite di una funzione esponenziale

[nicostyle86]

Salve a tutti, vorrei un aiuto per risolvere il seguente limite:

$lim_{x \to \+infty}x^2e^(1-x)$

Ho provato ad utilizzare il limite notevole $lim_{x \to \+infty}(e^(f(x))-1)/f(x) = 1$ (suggerito in un altro topic per un esercizio simile), ma il massimo che riesco ad ottenere è:

$lim_{x \to \+infty}x^2e^(1-x) = lim_{x \to \+infty} [(x^2e^(1-x)-x^2+x^2)/(x^2(1-x))]*x^2(1-x)$

Come potete vedere ho aggiunto e sottratto il termine $x^2$ e moltiplicato e diviso per $x^2(1-x)$, quando però cerco di calcolare il limite ottengo il seguente risultato:

$lim_{x \to \+infty}[((e^(1-x)-1)/(1-x) + 1/(1-x))*x^2(1-x)]$

Dove abbiamo:

$(e^(1-x)-1)/(1-x) \to 1$, $1/(1-x) \to 0^-$ ed infine $x^2(1-x) \to -infty$ per $x \to \+infty$

Il risultato, in base al mio calcolo, sarebbe quindi $\-infty$. Risultato non corretto in quanto il suddetto limite vale $0$.

[K.Lomax]

Tutto sbagliato a partire dal primo limite notevole che ovviamente è valido se [tex]\lim_{x\to+\infty}f(x)=0[/tex].
Quel limite si risolve per confronto tra infiniti ponendo

[tex]\lim_{x\to+\infty}x^2e^{1-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{e^{x-1}}[/tex]

[nicostyle86]

Hai ragione, non avevo riflettuto sulla validità del limite notevole e non avevo preso in considerazione il confronto tra infiniti. Grazie mille.

[K.Lomax]

Tra infiniti, non infinitesimi

[nicostyle86]

Si, avevo già modificato .