Limite di una funzione di due variabili

[Sirio1988]

Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio:

Dimostrare che

$lim_((x,y)rarr(0,0))(x^3y)/(x^2+y^2)^(3/2)=0$

Dato che $y rarr 0$ per $(x,y) rarr (0,0)$, se riuscissi a dimostrare che $(x^3)/(x^2+y^2)^(3/2)$ non diverge allora avrei finito. Come posso fare?

[Hadronen]

In coordinate polari credo si semplifica...

[previ91]

In coordinate polari :

$(|rho^3||cos^3 theta||rho||sin theta|)/rho^(2 3/2) <= (rho^4)/rho^3 = rho -> 0$

[Sirio1988]

Perfetto!!!Grazie.

[Sirio1988]

Vorrei proporre un metodo alternativo.

Dato che $x^2+y^2>=x^2$ si ha allora che $sqrt(x^2+y^2)>=|x|$.

$|x^3/(x^2+y^2)^(3/2)|=(|x|/(x^2+y^2)^(1/2))^3<=1$

Quindi $x^3/(x^2+y^2)^(3/2)$ è limitata e $lim_((x,y)rarr(0,0)) yx^3/(x^2+y^2)^(3/2)=0$

Secondo voi è corretto?

[Sirio1988]

up

[Sirio1988]

up

[ludwigZero]

Secondo me va bene, hai usato una maggiorazione, poi hai dichiarato che parte della funz è limitata diventando cosi una funzione a una variabile, banale.

[Sirio1988]

Grazie. Alle volte si ha bisogno di conferme...