Limite di una funzione di due variabili
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio:
Dimostrare che
$lim_((x,y)rarr(0,0))(x^3y)/(x^2+y^2)^(3/2)=0$
Dato che $y rarr 0$ per $(x,y) rarr (0,0)$, se riuscissi a dimostrare che $(x^3)/(x^2+y^2)^(3/2)$ non diverge allora avrei finito. Come posso fare?
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio:
Dimostrare che
$lim_((x,y)rarr(0,0))(x^3y)/(x^2+y^2)^(3/2)=0$
Dato che $y rarr 0$ per $(x,y) rarr (0,0)$, se riuscissi a dimostrare che $(x^3)/(x^2+y^2)^(3/2)$ non diverge allora avrei finito. Come posso fare?
Risposte
In coordinate polari credo si semplifica...
In coordinate polari :
$(|rho^3||cos^3 theta||rho||sin theta|)/rho^(2 3/2) <= (rho^4)/rho^3 = rho -> 0$
$(|rho^3||cos^3 theta||rho||sin theta|)/rho^(2 3/2) <= (rho^4)/rho^3 = rho -> 0$
Perfetto!!!Grazie.
Vorrei proporre un metodo alternativo.
Dato che $x^2+y^2>=x^2$ si ha allora che $sqrt(x^2+y^2)>=|x|$.
$|x^3/(x^2+y^2)^(3/2)|=(|x|/(x^2+y^2)^(1/2))^3<=1$
Quindi $x^3/(x^2+y^2)^(3/2)$ è limitata e $lim_((x,y)rarr(0,0)) yx^3/(x^2+y^2)^(3/2)=0$
Secondo voi è corretto?
Dato che $x^2+y^2>=x^2$ si ha allora che $sqrt(x^2+y^2)>=|x|$.
$|x^3/(x^2+y^2)^(3/2)|=(|x|/(x^2+y^2)^(1/2))^3<=1$
Quindi $x^3/(x^2+y^2)^(3/2)$ è limitata e $lim_((x,y)rarr(0,0)) yx^3/(x^2+y^2)^(3/2)=0$
Secondo voi è corretto?
up
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Secondo me va bene, hai usato una maggiorazione, poi hai dichiarato che parte della funz è limitata diventando cosi una funzione a una variabile, banale.
Grazie. Alle volte si ha bisogno di conferme...