Limite di una funzione di due variabili
Salve a tutti,
mi servirebbe un aiuto per il seguente esercizio:
$lim_((x,y)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2) sin (|x|^3+y^2)$
Di sicuro $lim_((x,y)rarr(0,0)) sin (|x|^3+y^2)=0$, ma come faccio a valutare $lim_((x,y)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$?
mi servirebbe un aiuto per il seguente esercizio:
$lim_((x,y)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2) sin (|x|^3+y^2)$
Di sicuro $lim_((x,y)rarr(0,0)) sin (|x|^3+y^2)=0$, ma come faccio a valutare $lim_((x,y)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$?
Risposte
Tuoi tentativi, idee...?
"Sirio1988":
ma come faccio a valutare $lim_((x,y)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)$?
essendo che questo pezzo viene moltiplicato per una funzione infinitesima ti basta dimostrare che non diverge per concludere che tutto il limite fa $0$
Dato che condizione necessaria affinché una funzione f(x,y) abbia limite l per $(x,y)rarr(x_0,y_0)$ è che per ogni curva regolare di equazioni parametriche $x=x(t)$, $y=y(t)$ passanti per $(x_0,y_0)$ in corrispondenza ad un valore $t_0$ tali che $x(t_0)=x_0$, $y(t_0)=y_0$ risulti:
$lim_(t rarr t_0) f(x(t),y(t))=l$
allora considerando la famiglia di rette di equazione y(x)=mx si ha che
$lim_((x,y)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)=lim_(x rarr 0) (mx^2)/(x^2+m^2x^2)=m/(1+m^2)$
Quindi il limite non esiste (dipende dal parametro m). Giusto?
$lim_(t rarr t_0) f(x(t),y(t))=l$
allora considerando la famiglia di rette di equazione y(x)=mx si ha che
$lim_((x,y)rarr(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)=lim_(x rarr 0) (mx^2)/(x^2+m^2x^2)=m/(1+m^2)$
Quindi il limite non esiste (dipende dal parametro m). Giusto?
ok il limite non esiste, però puoi anche dire che il valore di $l$ sarà sempre finito lungo qualsiasi direzione e di conseguenza il limite iniziale è $0$
Per caso questa cosa potrei dimostrarla utilizzando il passaggio in coordinate polari?
"Sirio1988":
Per caso questa cosa potrei dimostrarla utilizzando il passaggio in coordinate polari?
se si fa utilizzo delle cordinate polari, si giunge alla stessa conclusione, cioè che quel limite, non esiste, verrebbe $l=cos \theta sin \theta$ il chè, dipenderebbe da \theta. Tuttavia, scelto un \theta qualsivoglia, quell' $l$ verrebbe 'finito', moltiplicato per il $sin (..) ->0$
spero di non aver detto zoppolate
"ludwigZero":
[quote="Sirio1988"]Per caso questa cosa potrei dimostrarla utilizzando il passaggio in coordinate polari?
se si fa utilizzo delle cordinate polari, si giunge alla stessa conclusione, cioè che quel limite, non esiste, verrebbe $l=cos \theta sin \theta$ il chè, dipenderebbe da \theta. Tuttavia, scelto un \theta qualsivoglia, quell' $l$ verrebbe 'finito', moltiplicato per il $sin (..) ->0$
spero di non aver detto zoppolate[/quote]
In effetti hai ragione. Ma allora come faccio a dire che il valore di l sarà sempre finito lungo qualsiasi direzione?
il coseno e il seno sono funzioni limitate $forall vartheta$...
Purtroppo continuo a non capire...
una volta che hai trovato $l=cos(theta)sin(theta)$ se lo moltiplichi per una quantità tendente a $0$ allora il limite è sempre $0$.
Il limite potrebbe non esistere quando c'è il rischio che $l to infty$ per qualche valore di $theta$ ma nel tuo caso questo è impossibile perchè si può facilmente dedurre che $0<=l<=1$
Il limite potrebbe non esistere quando c'è il rischio che $l to infty$ per qualche valore di $theta$ ma nel tuo caso questo è impossibile perchè si può facilmente dedurre che $0<=l<=1$
Ora è tutto chiaro. Grazie mille!!! 
Oppure , dato che \( |xy|<\frac{x^2+y^2}{2}\) abbiamo:
\( 0 \leq|\frac{xy}{x^2+y^2}\sin(|x|^3+y^2)|\leq\frac{|x|^3+y^2}{2}\)
\( 0 \leq|\frac{xy}{x^2+y^2}\sin(|x|^3+y^2)|\leq\frac{|x|^3+y^2}{2}\)
si perchè il sin è sempre minore o uguale a $1$, concordo con totissimus con la diseguaglianza! (molto più veloce)
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