Limite di una funzione definita da un sistema
Salve a tutti, come dovrei procedere in questo caso --> $\lim_{x \to \x_0} \{(x=3 con x=3),(x+5 con x!=3):}_n$
oppure in altri casi , ovvero ad esempio sempre con la $x$ che tende ad una $x_0$ ma nel sistema la funzione non esiste in quel punto cosa faccio? e se devo fare il limite con $x$ che tende ad $\infty$? io so che adoperando il limite non devo guardare cosa succede nella precisa $x_0$ ma nell'intorno, quindi nel primo caso il limite sarebbe solo da applicare alla seconda funzione ? mentre nel secondo caso dovrei applicarla ad entrambe le funzioni ma in che modo unisco le soluzioni?
Grazie in anticipo per la risposta
oppure in altri casi , ovvero ad esempio sempre con la $x$ che tende ad una $x_0$ ma nel sistema la funzione non esiste in quel punto cosa faccio? e se devo fare il limite con $x$ che tende ad $\infty$? io so che adoperando il limite non devo guardare cosa succede nella precisa $x_0$ ma nell'intorno, quindi nel primo caso il limite sarebbe solo da applicare alla seconda funzione ? mentre nel secondo caso dovrei applicarla ad entrambe le funzioni ma in che modo unisco le soluzioni?
Grazie in anticipo per la risposta
Risposte
Ciao Corruz,
Non si capisce praticamente nulla di ciò che hai scritto, perciò provo ad interpretare, poi casomai mi correggerai qualora avessi mal interpretato...
Sei interessato a calcolare il limite seguente:
$lim_{x \to x_0} f(x) $
ove $f(x) := {(3 \text{ se } x = 3),(x + 5 \text{ se } x \ne 3):} $
Quest'ultima non è una "funzione definita da un sistema" come hai scritto nel titolo dell'OP,
ma una funzione definita per casi avente dominio $D = \RR $
Il risultato del limite al quale sei interessato dipende da $x_0 $: possiamo dire però che se $x_0 \ne 3 $ si ha
$ lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $
in quanto la funzione $x + 5 $ che occorre considerare in questo caso è una retta e dunque è senz'altro continua.
Il caso "interessante" quindi è proprio $x_0 = 3 $, perché in tal caso si ha:
$ lim_{x \to 3} f(x) = 8 \ne f(x_0) = 3 $
In questi casi si suole dire che la funzione ha una discontinuità di terza specie o eliminabile nel punto $x_0 = 3 $, ed il motivo per il quale è denominata eliminabile è che la si può eliminare definendo una nuova funzione $f^{\star}(x) $ in modo tale che sia soddisfatta la definizione di continuità $ lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $ citata poc'anzi. Nel caso in esame basta semplicemente definire
$ f^{\star}(x) := x + 5 $
avente dominio $D^{\star} = D = \RR $ ed ivi continua.
Qui proprio non ti seguo: perché devi trovare il modo di unire le soluzioni?
Non si capisce praticamente nulla di ciò che hai scritto, perciò provo ad interpretare, poi casomai mi correggerai qualora avessi mal interpretato...
Sei interessato a calcolare il limite seguente:
$lim_{x \to x_0} f(x) $
ove $f(x) := {(3 \text{ se } x = 3),(x + 5 \text{ se } x \ne 3):} $
Quest'ultima non è una "funzione definita da un sistema" come hai scritto nel titolo dell'OP,
ma una funzione definita per casi avente dominio $D = \RR $
Il risultato del limite al quale sei interessato dipende da $x_0 $: possiamo dire però che se $x_0 \ne 3 $ si ha
$ lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $
in quanto la funzione $x + 5 $ che occorre considerare in questo caso è una retta e dunque è senz'altro continua.
Il caso "interessante" quindi è proprio $x_0 = 3 $, perché in tal caso si ha:
$ lim_{x \to 3} f(x) = 8 \ne f(x_0) = 3 $
In questi casi si suole dire che la funzione ha una discontinuità di terza specie o eliminabile nel punto $x_0 = 3 $, ed il motivo per il quale è denominata eliminabile è che la si può eliminare definendo una nuova funzione $f^{\star}(x) $ in modo tale che sia soddisfatta la definizione di continuità $ lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $ citata poc'anzi. Nel caso in esame basta semplicemente definire
$ f^{\star}(x) := x + 5 $
avente dominio $D^{\star} = D = \RR $ ed ivi continua.
"Corruz":
ma in che modo unisco le soluzioni?
Qui proprio non ti seguo: perché devi trovare il modo di unire le soluzioni?
Scusami per via dell'illogicità delle mie frasi ma era tardi poi inseriscici la dsa e il fatto non capivo effettivamente la risoluzione di alcuni dubbi stupidi ahah
in generale la domanda essenziale era come si potesse calcolare il limite di una funzione con un dominio definito a tratti: del tipo $\lim_{x \to 0}abs(x)$ che difatti sarebbe $\lim_{x \to 0}{(x, se, x>=0),(-x, se, x<0):}$
E difatti mi hai risposto e tolto i dubbi stupidi tranne uno, che probabilmente l'ho chiesto in modo stupido: ipotizzando di avere un sistema del genere ${(tan(x), se,-\pi/2 <=x<=\pi/2),(ln(x), se, x>\pi):}$ e dovendone calcolare il limite per $x\to 5/2$ come dovrei procedere? Il limite non esiste perché la x da prendere in esame non è dentro al dominio ?
p.s grazie per la risposta precedente ahah
ma era tardi poi inseriscici la dsa e il fatto non capivo effettivamente la risoluzione di alcuni dubbi stupidi ahahin generale la domanda essenziale era come si potesse calcolare il limite di una funzione con un dominio definito a tratti: del tipo $\lim_{x \to 0}abs(x)$ che difatti sarebbe $\lim_{x \to 0}{(x, se, x>=0),(-x, se, x<0):}$
E difatti mi hai risposto e tolto i dubbi stupidi tranne uno, che probabilmente l'ho chiesto in modo stupido: ipotizzando di avere un sistema del genere ${(tan(x), se,-\pi/2 <=x<=\pi/2),(ln(x), se, x>\pi):}$ e dovendone calcolare il limite per $x\to 5/2$ come dovrei procedere? Il limite non esiste perché la x da prendere in esame non è dentro al dominio ?
p.s grazie per la risposta precedente ahah
"Corruz":
p.s grazie per la risposta precedente
Prego
"Corruz":
Il limite non esiste perché la x da prendere in esame non è dentro al dominio ?
Diciamo che in generale non ha senso calcolarsi limiti che non siano almeno ai confini del dominio di definizione della funzione, un po' come non ha senso dire che una funzione è discontinua dove non è definita. Ad esempio, consideriamo la funzione definita per casi seguente:
$f(x) := {(ln(x) \text{ se } x > 0),(- 1/x \text{ se } x < 0):} $
Il dominio di tale funzione è $D = \RR - \{0\} $ o se preferisci $ D = (-\infty, 0 ) uu (0, +infty) $
La funzione non è definita in $x = 0 $, ma è ragionevole chiedersi come si comporta la funzione per $x \to 0 $: non esiste il $ lim_{x to 0} f(x) $, ma si ha $ lim_{x to 0^-} f(x) = lim_{x to 0^-} - 1/x = +\infty $ e $ lim_{x to 0^+} f(x) = lim_{x to 0^+} ln(x) = -\infty $
Ha senso anche calcolarsi gli altri due limiti: $ lim_{x to -\infty} f(x) = lim_{x to -\infty} - 1/x = 0 $ e $ lim_{x to +\infty} f(x) = lim_{x to +\infty} ln(x) = +\infty $
Naturalmente è possibile anche calcolarsi ad esempio il $ lim_{x \to 5/2} f(x) $, ma in questo caso invece ha poco senso perché essendo la funzione $ln(x) $, quella che occorre considerare per $x > 0 $, una funzione continua, per la definizione di funzione continua si ha:
$ lim_{x to 5/2} f(x) = lim_{x to 5/2} ln(x) = f(5/2) = ln(5/2) $
Mi auguro di essere riuscito a fugare i tuoi dubbi, ma se non è così fammi sapere...
Ahh capito, perfetto grazie mille per la velocità di risposta!! 
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