Limite di una funzione composta !!!
Giorno amici,
Ho la seguente proposizione sulle miei dispense di cui non riporta la dimostrazione, segue :
Per la proposizione di limite di una funzione composta e per la continuità del valore assoluto si ha :
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=y_0 \rightarrow \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|l| \)
Riporto la mia dimostrazione :
Siano \(\displaystyle f,g \), tali che:
\(\displaystyle f:x\in X\to f(x) \in X \)
\(\displaystyle g:y\in Y\to g(y) \in \mathbb{R} \)
si può considerare allora la loro funzione composta:
\(\displaystyle g\circ f : x\in X \to g(f(x)) \in \mathbb{R} \).
Ne segue, che la funzione \(\displaystyle g \) è la funzione valore assoluto, e suppongo che la funzione \(\displaystyle f \) è continua.
Dalla proposizione di limite di funzione composta, si ha :
1) \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=y_0 \)
e
2 \(\displaystyle \lim_{y\to y_0} g(y)=l \)
si ha
3 \(\displaystyle \to \lim_{y\to y_0} g(f(x))=l \),
ovviamente per \(\displaystyle g(f(x)) = g(y) \) quindi nel nostro caso si ha \(\displaystyle |y|=g(y) \),
quindi in corrispondenza dell'intorno \(\displaystyle I_l \) di \(\displaystyle l \), si può determinare l'intorno \(\displaystyle I_{y_0} \), quindi si ha:
\(\displaystyle y\in I_{y_0} \cap Y\setminus{y_0} \to |y|\in I_l\).
Ora, in corrispondenza dell'intorno \(\displaystyle I_{y_0} \), possiamo determinare un intorno \(\displaystyle I_{x_0} \) di \(\displaystyle x_0 \). quindi si ha:
\(\displaystyle x\in I_{x_0} \cap X\setminus{x_0} \to f(x) \in I_{y_0}\).
Pertanto possiamo considerare un intorno \(\displaystyle I_{x_0} \) di \(\displaystyle x_0 \), quindi si ha :
\(\displaystyle x \in I_{x_0} \cap X \setminus{x_0} \to |f(x)| \in I_l\).
Aspetto i vostri pareri e consigli.
Grazie per le risposte
Ho la seguente proposizione sulle miei dispense di cui non riporta la dimostrazione, segue :
Per la proposizione di limite di una funzione composta e per la continuità del valore assoluto si ha :
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=y_0 \rightarrow \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|l| \)
Riporto la mia dimostrazione :
Siano \(\displaystyle f,g \), tali che:
\(\displaystyle f:x\in X\to f(x) \in X \)
\(\displaystyle g:y\in Y\to g(y) \in \mathbb{R} \)
si può considerare allora la loro funzione composta:
\(\displaystyle g\circ f : x\in X \to g(f(x)) \in \mathbb{R} \).
Ne segue, che la funzione \(\displaystyle g \) è la funzione valore assoluto, e suppongo che la funzione \(\displaystyle f \) è continua.
Dalla proposizione di limite di funzione composta, si ha :
1) \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)=y_0 \)
e
2 \(\displaystyle \lim_{y\to y_0} g(y)=l \)
si ha
3 \(\displaystyle \to \lim_{y\to y_0} g(f(x))=l \),
ovviamente per \(\displaystyle g(f(x)) = g(y) \) quindi nel nostro caso si ha \(\displaystyle |y|=g(y) \),
quindi in corrispondenza dell'intorno \(\displaystyle I_l \) di \(\displaystyle l \), si può determinare l'intorno \(\displaystyle I_{y_0} \), quindi si ha:
\(\displaystyle y\in I_{y_0} \cap Y\setminus{y_0} \to |y|\in I_l\).
Ora, in corrispondenza dell'intorno \(\displaystyle I_{y_0} \), possiamo determinare un intorno \(\displaystyle I_{x_0} \) di \(\displaystyle x_0 \). quindi si ha:
\(\displaystyle x\in I_{x_0} \cap X\setminus{x_0} \to f(x) \in I_{y_0}\).
Pertanto possiamo considerare un intorno \(\displaystyle I_{x_0} \) di \(\displaystyle x_0 \), quindi si ha :
\(\displaystyle x \in I_{x_0} \cap X \setminus{x_0} \to |f(x)| \in I_l\).
Aspetto i vostri pareri e consigli.
Grazie per le risposte
Risposte
Ciao, faccio un po' fatica a seguirti:
Cioè?
Ma chi è $l$?
Sarà $f: X \to Y$ , $x \mapsto f(x)$. E se vuoi comporre questa funzione con il valore assoluto c'è bisogno che il codominio sia $RR$...
Vuoi dire che supponi che $g$ sia la funzione valore assoluto?
Comunque se per "proposizione di limite di una funzione composta" intendi il fatto che se hai
$f: X \to Y$
$g:Y to Z$
con $g$ continua e $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ e $lim_{y \to l} g(y)=h$ allora
$\lim_{x \to x_0} g(f(x))=h$
allora la tua proposizione è una banale applicazione di questo teorema e non c'è bisogno di dimostrazioni.
"galles90":
Per la proposizione di limite di una funzione composta
Cioè?
"galles90":
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=y_0 \rightarrow \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|l| \)
Ma chi è $l$?
"galles90":
$f:x\inX\tof(x)\inX$
Sarà $f: X \to Y$ , $x \mapsto f(x)$. E se vuoi comporre questa funzione con il valore assoluto c'è bisogno che il codominio sia $RR$...
"galles90":
Ne segue, che la funzione $g$ è la funzione valore assoluto, e suppongo che la funzione $f$ è continua.
Vuoi dire che supponi che $g$ sia la funzione valore assoluto?
Comunque se per "proposizione di limite di una funzione composta" intendi il fatto che se hai
$f: X \to Y$
$g:Y to Z$
con $g$ continua e $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ e $lim_{y \to l} g(y)=h$ allora
$\lim_{x \to x_0} g(f(x))=h$
allora la tua proposizione è una banale applicazione di questo teorema e non c'è bisogno di dimostrazioni.
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