Limite di una funzione complessa

[alfredo14]

Mi rivolgo nuovamente alla comunità per avere lumi su una questione che, forse, è passata inosservata (vorrei escludere il caso in cui, invece, tale questione non abbia trovato risposta! ).

Dunque il problema è questo. Devo calcolarmi il limite, per $t->oo$ dell'esponenziale complesso. In particolare vorrei capire perchè tale limite è nullo. In formula:

$lim_{t->oo}e^(-jomegat)=0$

In realtà i dubbi che ho su questo limite sono diversi.
1. Intanto il significato della scrittura stessa, dal momento che quando abbiamo a che fare con numeri complessi ci riferiamo a due grandezze distinte: il modulo e la fase (con questa scrittura si vuole calcolare il limite di quale delle due? O cos'altro?)
2. Come già detto altrove l'esponenziale complesso è un fasore di modulo unitario ed indipendente dal tempo. La fase è invece variabile (il fasore è un vettore che ruota in senso antiorario a velocità costante pari a $omega$; la sua fase è l'angolo che tale vettore forma con l'asse dei numeri reali). Il suo valore limite è indefinito, credo.

Grazie per gli eventuali contributi.

[algalord-votailprof]

ma fa parte del programmi di analisi 1? cosa è quell W? proviene da eulero?Non capisco cosa sia jwt.

cmq se ribalti la e scrivendola al denominatore, esso dovrebbe venire infinito, quindi 1/infinito =0

[gugo82]

"alfredo":Mi rivolgo nuovamente alla comunità per avere lumi su una questione che, forse, è passata inosservata (vorrei escludere il caso in cui, invece, tale questione non abbia trovato risposta! ).

Dunque il problema è questo. Devo calcolarmi il limite, per $t->oo$ dell'esponenziale complesso. In particolare vorrei capire perchè tale limite è nullo. In formula:

$lim_{t->oo}e^(-jomegat)=0$

In realtà i dubbi che ho su questo limite sono diversi.
1. Intanto il significato della scrittura stessa, dal momento che quando abbiamo a che fare con numeri complessi ci riferiamo a due grandezze distinte: il modulo e la fase (con questa scrittura si vuole calcolare il limite di quale delle due? O cos'altro?)
2. Come già detto altrove l'esponenziale complesso è un fasore di modulo unitario ed indipendente dal tempo. La fase è invece variabile (il fasore è un vettore che ruota in senso antiorario a velocità costante pari a $omega$; la sua fase è l'angolo che tale vettore forma con l'asse dei numeri reali). Il suo valore limite è indefinito, credo.

Grazie per gli eventuali contributi.

Mi sa che così com'è scritto il limite in questione nemmeno esiste.
Infatti $e^(-i*omegat)=cos(-omegat)+i*sin(-omegat)=cos(omegat)-i*sin(omegat)$ e si vede facilmente che la parte reale ed il coefficiente della parte immaginaria del numero complesso $e^(-i*omegat)$ sono funzioni non dotate di limite quando $t to+oo$.

Ricordo per completezza che:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè un'applicazione complessa $f(t)="Re"(f(t))+i*"Im"(f(t))$ definita in $RR$ abbia $lim_(t to t_0) f(t)=a+i*b in CC$ (qui $t_0 in hatRR=RRcup{pm oo}$) è che risulti:

$\{(lim_(t to t_0) "Re"(f(t))=a), (lim_(t to t_0) "Im"(f(t))=b):} quad$.

quindi, poichè nel caso in esame non esistono $lim_(t to +oo)"Re"(e^(-i*omegat))$ e $lim_(t to +oo)"Im"(e^(-i*omegat))$, non esiste nemmeno il $lim_(t to +oo)e^(-i*omegat)$.

[alfredo14]

No, non fa parte dei programmi di analisi 1.

Per quanto riguarda la simbologia impiegata:

- j è l'unità immaginaria (altrove indicata con i);
- $omega$ è la velocità angolare di un vettore rotante - in senso antiorario - con estremo fisso nell'origine. Essa è pari a: $omega=(2pi)/T$ ove T (periodo) è il tempo che impiega il vettore per compiere una rotazione completa (360°);
- t è la variabile indipendente (fisicamente rappresenta il tempo).

L'esponenziale complesso - generalmente è chiamato così - fa riferimento alla nota relazione di Eulero:

$e^(jbeta)=cosbeta+jsinbeta$

Spero di essere stato chiaro.

[Camillo]

Essendo $ omega , t $ entrambi reali l'unica cosa che si può dire è che $ e^(-jomegat)$ ha modulo unitario sempre .
Ovviamente $ e^(-omegat ) $ $rarr 0 $ per $t rarr +oo$., ma questa è un'altra questione.

[alfredo14]

Ciao gugo.
In realtà il limite esiste e proviene dal calcolo di un integrale improprio. Il seguente:

$int_0^(+oo)e^(-jomegat)dt=lim_{x->oo}[-e^(-jomegat)/(jomega)]_0^(x)=-j/omega$

Si tratta della trasformata di Fourier della funzione:

$f(t)=0$ per $-oo
generalmente indicata, nella teoria dei segnali, come funzione a gradino unitario.

[Camillo]

Non sono due questioni diverse ? che l'integrale improprio converga è una , l'altra che il limite esista .
L'integrale improprio può convergere se :
* il limite esiste e allora deve valere 0
oppure
* il limite non esiste
Dal fatto che l'integrale converga non si può dedurre che quel limite esiste e vale 0 .

S.E.O

[alfredo14]

Ciao Camillo, probabilmente hai messo il dito sulla piaga.

Ecco, mi piacerebbe proprio capire perchè quell'integrale fornisce quel risultato.

Chiedo gentilmente lumi a chi è più esperto di me.
Grazie.

[gugo82]

"alfredo":Ciao gugo.
In realtà il limite esiste e proviene dal calcolo di un integrale improprio. Il seguente:

$int_0^(+oo)e^(-jomegat)dt=lim_{x->oo}[-e^(-jomegat)/(jomega)]_0^(x)=-j/omega$

Si tratta della trasformata di Fourier della funzione:

$f(t)=0$ per $-oo
generalmente indicata, nella teoria dei segnali, come funzione a gradino unitario.

Il modulo della primitiva è costante, quindi essa non può essere infinitesima in $+oo$.

Propenderei per qualche altra spiegazione del risultato, che io non so fornire perchè non sono molto ferrato in Analisi Armonica.
(C'entra qualcosa il fatto che il gradino unitario è una primitiva nel senso delle distribuzioni della $delta$ di Dirac?)

Inoltre mi sorge un altro dubbio: ma la trasformazione di Fourier non è definita solo per le funzioni di $L^1(RR)$?

[alfredo14]

Il modulo della primitiva è costante, quindi essa non può essere infinitesima in +∞.

E' infatti è proprio da questa considerazione che derivano i miei dubbi.

Per le altre domande che poni non saprei, anch'io sono poco ferrato sul'argomento e speravo di poter trovare qui un po' di luce!

[elgiovo]

Il risultato $1/(j omega)$ come trasformata di Fourier del gradino unitario è errato. Si sa che
- la trasformata dell'impulso $delta(t)$ è $int_(-oo)^(+oo) e^(-j omega t) delta(t) dt=1$;
- la trasformata di $(d^nf)/(dt^n)$, se esiste, è $(j omega)^n F(omega)$.
Un'applicazione sbagliata di tali risultati è la seguente: se $F(omega)$ è la trasformata di $U(t)$, allora $1=j omega F(omega)$,
quindi $F(omega)=1/(j omega)$. Beh, nell'ultimo passaggio risiede un errore. Dalla proprietà dell'impulso $phi(t)delta(t)=phi(0)delta(t)$,
discende che $F(omega)=1/(j omega) + k delta(omega)$. La costante $k$ si determina dalla definizione stessa di antitrasformata di Fourier:
$f(t)=1/(2 pi) int_(-oo)^(+oo) F(omega)e^(j omega t)d omega$, da cui $U(0)=1/2=1/(2 pi) int_(-oo)^(+oo)F(omega)d omega=k/(2pi)$, quindi $k=pi$.
In generale, se $omega F_1(omega)=omegaF_2(omega)$ non è vero che $F_1(omega)=F_2(omega)$, ma la conclusione corretta è $F_1(omega)=F_2(omega)+k delta(omega)$.

[elgiovo]

Un modo più classico di trovare $ccF[U(t)]$ è il seguente:
se $F(omega)$ è $ccF[f(t)]$, allora $F(t)=2pif(-omega)$. La trasformata dell'impulso "shiftato" è $ccF[delta(t-t_0)]=e^(-j omegat_0)$.
Dai due fatti precedenti, discende che $ccF[e^(j omega_0 t)]=2pi delta(omega-omega_0)$, che ammette come caso particolare $ccF[1]=2 pi delta(omega)$.
Dunque la trasformata di Fourier di una costante è un impulso nell'origine di area $2pi$.
Calcoliamo la trasformata di $f(t)=mbox(sgn)(t)$. Poichè tale funzione è dispari, la parte reale della trasformata $R(omega)=0$,
e $X(omega)=-2int_0^(+oo) f(t)sin (omegat) dt=-2int_0^(+oo)sin (omega t )dt$. Si può dimostrare che, se le quantità nell'uguaglianza $int_0^(+oo) sin (omega t) dt=1/omega$
sono interpretate come distribuzioni, allora tale uguaglianza sussiste (se fossero mere funzioni, il risultato non avrebbe senso).
Dunque $ccF[mbox(sgn)(t)]=2/(j omega)$ (si noti come il risultato è valido solo se si interpreta $mbox(sgn)(t)$ nel senso delle distribuzioni).
A questo punto notiamo che $U(t)=1/2+1/2mbox(sgn)(t)$, e si conclude dunque che $ccF[U(t)]=pi delta(omega)+1/(j omega)$.

[alfredo14]

Ciao elgiovo, grazie per il contributo che, purtroppo, non riesco a comprendere fino in fondo.
Non per tua poca chiarezza, naturalmente, quanto per mancanza (da parte mia) di informazioni necessarie a tale comprensione.
Cercherò di approfondire altrimenti le parti della materia che mi mancano.
Grazie ancora.

[Cantaro86]

secondo me per capire l'argomento non ti serve andare ad approfondire argomenti specifici e avanzati come quelli della trasformata di Fourier...
basta capire che l'integrale che hai riportato non è corretto e che la spiegazione di gugo82 ti dice il motivo:

"gugo82":
Mi sa che così com'è scritto il limite in questione nemmeno esiste.
Infatti $e^(-i*omegat)=cos(-omegat)+i*sin(-omegat)=cos(omegat)-i*sin(omegat)$ e si vede facilmente che la parte reale ed il coefficiente della parte immaginaria del numero complesso $e^(-i*omegat)$ sono funzioni non dotate di limite quando $t to+oo$.
.

[elgiovo]

Visto che Alfredo si sta cimentando proprio con la trasformata di Fourier non vedo perchè non far uso di uno strumento tanto comodo ed elegante.
Come ho spiegato sopra, in senso distribuzionale il limite esiste, e solo in quel senso si può affermare che $int_0^(+oo) sin(omega t)dt=1/omega$.

[alfredo14]

Allora ragazzi, vi ringrazio dei contributi ma mi corre l'obbligo di fare una precisazione. A differenza di molti dei frequentatori di questo forum io non ho impellenze legate ad esami da sostenere (vista anche la mia veneranda età ). Il mio interesse è legato al piacere che provo verso lo studio e la conoscenza di argomenti di questo tipo.
Quando quindi pongo una domanda vorrei sapere, quando possibile, come stanno realmente le cose.
Ora, in merito alla risposta di elgiovo, mi sembra di non possedere (forse non l'ho sufficientemente specificato nel corso del precedente intervento) le conoscenze necessarie per comprenderla (che credo rimandino alla teoria sulle funzioni di distribuzione).

La risposto di gugo, invece, me la ero già data prima di porre nel forum il quesito in questione.

Infatti, il limite:

$lim_{t->oo}e^(-jomegat)=0$

mi crea problemi di comprensione al livello di significato dell'operazione stessa. Ovvero:

che cosa significa fare il limite di una funzione complessa facendo tendere ad infinito una determinata quantità reale (t, nel nostro caso)? Stiamo cercando il limite della parte reale? Della parte immaginaria? Del modulo? Della fase? O di cos'altro? Probabilmente di entrambe le cose (modulo-fase o parte reale-parte immaginaria) ma questa è solo una mia illazione.

Che l'esponenziale complesso sia un numero di modulo unitario credo sia palese. Che al variare del tempo l'unica grandezza che varia sia la fase, credo sia altrettanto chiaro.

E allora? Che operazione stiamo compiendo con quel limite?

Ecco, questi sono i miei attuali limiti (scusate il bisticcio) in merito a tale questione.

[alfredo14]

Scusate, non avevo letto con attenzione la citazione di gugo:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè un'applicazione complessa ...

la quale mi consente di capire qualcosa di più. Grazie gugo.

[Cantaro86]

semplicemente facendo il $lim_(t toinfty)e^(iwt)=lim_(t toinfty)[coswt+isinwt]=lim_(t toinfty)coswt+ilim_(t toinfty)sinwt$ e sai che queste funzioni non hanno limite...

[alfredo14]

E su questo ci siamo.

Ora si tratta di capire come si risolve quel limite all'interno di quell'integrale improprio.

[Cantaro86]

se intendi questo:

"alfredo":
$int_0^(+oo)e^(-jomegat)dt=lim_{x->oo}[-e^(-jomegat)/(jomega)]_0^(x)=-j/omega$

visto che il limite non esiste allora anche l'integrale non esiste...

[alfredo14]

Mi spiace ma questa è una risposta che non posso accettare, visto che nella letteratura del settore l'integrale esiste ed è calcolato. E mi riferisco anche a letteratura applicativa (elettronica, teoria dei segnali, ecc.).